Calcule o volume do sólido W definido como abaixo
W = {(x, y, z) em R^3 ; 0 <= z <= 1 - x^2 - y^2, x^2 + (y - 1)^2 <= 1} e x, y ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido definido por algumas condições envolvendo as variáveis , e . Vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas, para encontrar esse volume. Precisaremos entender como delimitar a região sobre a qual vamos integrar e aplicar corretamente as fórmulas de integração em coordenadas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as condições que definem o sólido :
  1. : Isso significa que varia de 0 até uma parábola invertida .
  2. : Essa é a equação de um círculo com raio 1 e centro em no plano .
  3. : Restringe a região para o primeiro quadrante.
Vamos visualizar isso: estamos lidando com a interseção de uma parábola invertida e um círculo no primeiro quadrante. Para calcular o volume, precisamos configurar uma integral dupla sobre a região delimitada por essas condições.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e . A expressão do círculo fica:
Simplificando:
Então, a região em coordenadas polares é definida por de 0 a e de 0 a .

Passo 4

Agora, montamos a integral para o volume:
Aqui, corresponde à altura , e é o elemento de área em coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em :

Passo 6

Agora, integramos em relação a :
Para resolver isso, usamos identidades trigonométricas para simplificar as integrais:

Passo 7

Aplicando os limites de integração e simplificando, encontramos:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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