Calcule o volume do sólido
definido como abaixo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido
definido por algumas condições envolvendo as variáveis
,
e
. Vamos usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas, para encontrar esse volume. Precisaremos entender como delimitar a região sobre a qual vamos integrar e aplicar corretamente as fórmulas de integração em coordenadas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que definem o sólido
:
-
: Isso significa que varia de 0 até uma parábola invertida . -
: Essa é a equação de um círculo com raio 1 e centro em no plano . -
: Restringe a região para o primeiro quadrante.
Vamos visualizar isso: estamos lidando com a interseção de uma parábola invertida e um círculo no primeiro quadrante. Para calcular o volume, precisamos configurar uma integral dupla sobre a região delimitada por essas condições.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
. A expressão do círculo fica:
Simplificando:
Então, a região
em coordenadas polares é definida por
de 0 a
e
de 0 a
.
Passo 4
Agora, montamos a integral para o volume:
Aqui,
corresponde à altura
, e
é o elemento de área em coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em
:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Para resolver isso, usamos identidades trigonométricas para simplificar as integrais:
Passo 7
Aplicando os limites de integração e simplificando, encontramos:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a região limitada pelas superfícies de equações
. (Use coordenadas esféricas)
Mostre que
.
Mostre que para
vale a equação de Laplace
Para cada função abaixo, determine i) as raízes ou zeros da função, ii) os pontos de intercecção com os eixos x e y; iii) classifique se é crescente ou decrescente, e iV) faça o gráfico das funções: