Calcule

onde é a região no primeiro octante entre as esferas e
Escolha uma opção:




Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral tripla:
onde é a região no primeiro octante entre as esferas e .
Conteúdo da matéria: Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a resolução da integral, já que a região de integração é entre duas esferas. Além disso, precisamos compreender como transformar a integral de coordenadas cartesianas para esféricas.
O que vamos precisar:
  • Transformação para coordenadas esféricas.
  • Limites de integração adequados.
  • Cálculo de integrais múltiplas em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas , onde:
  • é a distância do ponto à origem.
  • é o ângulo polar (com o eixo ).
  • é o ângulo azimutal (no plano ).
As transformações são:
Jacobeano da transformação: O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Vamos reescrever a função integranda em coordenadas esféricas:
Portanto, a integral se torna:

Passo 4

Agora, estabelecemos os limites de integração:
  • Raio : Como estamos entre as esferas e , os limites são .
  • Ângulo polar : No primeiro octante, vai de a .
  • Ângulo azimutal : Também no primeiro octante, varia de a .

Passo 5

Vamos separar a integral em partes:
Calculando cada parte:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
Fazendo a substituição , , a integral se torna:
  1. Integral em :

Passo 6

Multiplicando os resultados das integrais:

Resposta

A integral vale .
Opção correta:

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Calcule
Escolha uma opção:




3
Seja o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelo plano . Então vale
Escolha uma opção:

2


Mostre que
(o)
Calcule
Sugestão: use coordenadas polares
Escolha uma opção:

1
2