Calcule
onde é a região no primeiro octante entre as esferas e
Escolha uma opção:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral tripla:
onde é a região no primeiro octante entre as esferas e .
Conteúdo da matéria: Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a resolução da integral, já que a região de integração é entre duas esferas. Além disso, precisamos compreender como transformar a integral de coordenadas cartesianas para esféricas.
O que vamos precisar:
Transformação para coordenadas esféricas.
Limites de integração adequados.
Cálculo de integrais múltiplas em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar as coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas , onde:
é a distância do ponto à origem.
é o ângulo polar (com o eixo ).
é o ângulo azimutal (no plano ).
As transformações são:
Jacobeano da transformação: O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Vamos reescrever a função integranda em coordenadas esféricas:
Portanto, a integral se torna:
Passo 4
Agora, estabelecemos os limites de integração:
Raio : Como estamos entre as esferas e , os limites são .
Ângulo polar : No primeiro octante, vai de a .
Ângulo azimutal : Também no primeiro octante, varia de a .