Calcule
integral triplaE z(x^2+y^2+z^2)^32 d V
onde E é a região no primeiro octante entre as esferas x^2+y^2+z^2=9 e x^2+y^2+z^2=1
Escolha uma opção:
pi
pi2
2 pi3
2 pi
3 pi2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral tripla:
integral triplaE z(x^2+y^2+z^2)^32 , dV
onde é a região no primeiro octante entre as esferas e .
Conteúdo da matéria: Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar a resolução da integral, já que a região de integração é entre duas esferas. Além disso, precisamos compreender como transformar a integral de coordenadas cartesianas para esféricas.
O que vamos precisar:
  • Transformação para coordenadas esféricas.
  • Limites de integração adequados.
  • Cálculo de integrais múltiplas em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar as coordenadas cartesianas x = r sintheta cosphi para coordenadas esféricas y = r sintheta sinphi , onde:
  • z = r costheta é a distância do ponto à origem.
  • dV = r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi é o ângulo polar (com o eixo ).
  • é o ângulo azimutal (no plano ).
As transformações são:
Jacobeano da transformação: O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Vamos reescrever a função integranda em coordenadas esféricas:
z(x^2+y^2+z^2)^32 = r costhetar^3 = costhetar^2
Portanto, a integral se torna:
integral triplaE costhetar^2 cdot r^2 sintheta , dr , dtheta , dphi = integral triplaE costheta sintheta , dr , dtheta , dphi

Passo 4

Agora, estabelecemos os limites de integração:
  • Raio : Como estamos entre as esferas e , os limites são .
  • Ângulo polar : No primeiro octante, vai de a .
  • Ângulo azimutal : Também no primeiro octante, varia de a .

Passo 5

Vamos separar a integral em partes:
integral1^3 dr cdot integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta cdot integral0^pi2 dphi
Calculando cada parte:
  1. Integral em integral1^3 dr = 3 - 1 = 2 :
integral0^pi2 costheta sintheta , dtheta
  1. Integral em integral0^1 u , du = 12 u^2 |0^1 = 12 :
integral0^pi2 dphi = pi2
Fazendo a substituição , , a integral se torna:
  1. Integral em :

Passo 6

Multiplicando os resultados das integrais:
2 times 12 times pi2 = pi2

Resposta

A integral vale .
Opção correta:

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