Calcule integral0^1 integral-raizx-x^2^raizx-x^2 1raizx^2+y^2 d y d x
Sugestão: use coordenadas polares
Escolha uma opção:
pi2
1
2
pi4
12

Passo 1

Vamos resolver a seguinte integral dupla:
integral0^1 integral-raizx - x^2^raizx - x^2 1raizx^2 + y^2 , dy , dx
Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas, e a dica é usar coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O limite para é de 0 a 1, e para cada , varia de a . A equação representa uma circunferência com centro em e raio .

Passo 3

Para simplificar a integral, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área se transforma em nas coordenadas polares.

Passo 4

A função que estamos integrando é . Em coordenadas polares, isso simplifica para , pois .

Passo 5

Substituindo na integral original, temos:
integral0^2pi integral0^12 1r cdot r , dr , dtheta
Aqui, varia de 0 a e varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 6

Simplificando a integral:
integral0^2pi integral0^12 1 , dr , dtheta = integral0^2pi [ r ]0^12 , dtheta = integral0^2pi 12 , dtheta

Passo 7

Agora, integramos em relação a 12 cdot [ theta ]0^2pi = 12 cdot 2pi = pi :

Resposta

A resposta correta é . No entanto, como essa opção não está listada, pode haver um erro no enunciado ou nas opções fornecidas.

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