Seja
o volume do sólido
no primeiro octante delimitado pelo plano
. Então
vale
Escolha uma opção:
2
Escolha uma opção:
2
Passo 1
Vamos entender o problema: precisamos encontrar o volume do sólido
que está no primeiro octante e é delimitado pelo plano
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais triplas, que nos permite calcular volumes em espaços tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas
,
e
são maiores ou iguais a zero. O plano
nos dá uma relação entre essas coordenadas.
Passo 3
Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos resolver para
:
Isso significa que, para cada
e
,
varia de 0 até
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para
e
. Quando
, o plano se intercepta no plano
na linha
. Assim, para
, o limite inferior é 0 e o limite superior é
, já que
.
Para
, o limite inferior é 0 e o limite superior é 2.
Passo 5
Agora, configuramos a integral tripla para o volume
:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 7
Substituímos o resultado na integral de
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume
vale
.
Exercícios relacionados
Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto
. Desenhe a curva e a tangente em uma mesma tela.
A integral iterada
vale
Escolha uma opção:
1
Escolha uma opção:
1
Calcule
Escolha uma opção:
3
Escolha uma opção:
3
Calcule
onde é a região no primeiro octante entre as esferas
e
Escolha uma opção:
onde
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