Seja o volume do sólido no primeiro octante delimitado pelo plano . Então vale
Escolha uma opção:

2


Passo 1

Vamos entender o problema: precisamos encontrar o volume do sólido que está no primeiro octante e é delimitado pelo plano . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais triplas, que nos permite calcular volumes em espaços tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, todas as coordenadas , e são maiores ou iguais a zero. O plano nos dá uma relação entre essas coordenadas.

Passo 3

Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, vamos resolver para :
Isso significa que, para cada e , varia de 0 até .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para e . Quando , o plano se intercepta no plano na linha . Assim, para , o limite inferior é 0 e o limite superior é , já que .
Para , o limite inferior é 0 e o limite superior é 2.

Passo 5

Agora, configuramos a integral tripla para o volume :

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 7

Substituímos o resultado na integral de :
Simplificando:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume vale .

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Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto . Desenhe a curva e a tangente em uma mesma tela.
A integral iterada vale
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1
Calcule
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3
Calcule

onde é a região no primeiro octante entre as esferas e
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