Beleza, vamos resolver um integral triplo onde precisamos calcular . O conjunto está definido por e . Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas esféricas para simplificar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A condição representa uma esfera de raio 2 centrada na origem. A segunda condição define um cone. Queremos a parte da esfera que está dentro desse cone.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Lembrando que:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de integração. A esfera tem raio máximo 3rho^2 cos^2 phi <= rho^2 sin^2 phi Rightarrow 3cos^2 phi <= sin^2 phi . Para o cone 3 <= tan^2 phi Rightarrow tan phi >= raiz3 Rightarrow phi >= pi3 , substituindo as coordenadas esféricas, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Então, varia de a (pois estamos no quarto e primeiro quadrante do cone).
Passo 5
Agora, configuramos o integral em coordenadas esféricas:
integral triplaE z^2 , dV = integral0^2pi integralpi3^pi2 integral0^2 (rho cos phi)^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta