Calcule integral triplaE z^2 d V
E=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2+z^2 <= 4,3 z^2 <= x^2+y^2
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l 8 pi15 2 pi 16 pi15 32 pi15
pi
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Passo 1

Beleza, vamos resolver um integral triplo onde precisamos calcular . O conjunto está definido por e . Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas esféricas para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição representa uma esfera de raio 2 centrada na origem. A segunda condição define um cone. Queremos a parte da esfera que está dentro desse cone.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Lembrando que:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 4

Agora, vamos identificar os limites de integração. A esfera tem raio máximo 3rho^2 cos^2 phi <= rho^2 sin^2 phi Rightarrow 3cos^2 phi <= sin^2 phi . Para o cone 3 <= tan^2 phi Rightarrow tan phi >= raiz3 Rightarrow phi >= pi3 , substituindo as coordenadas esféricas, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Então, varia de a (pois estamos no quarto e primeiro quadrante do cone).

Passo 5

Agora, configuramos o integral em coordenadas esféricas:
integral triplaE z^2 , dV = integral0^2pi integralpi3^pi2 integral0^2 (rho cos phi)^2 cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta
Simplificando a expressão:
= integral0^2pi dtheta integralpi3^pi2 sin phi cdot cos^2 phi , dphi integral0^2 rho^4 , drho

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeiro, a integral em integral0^2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]0^2 = 325 :
integralpi3^pi2 sin phi cdot cos^2 phi , dphi
Depois, a integral em = integral12^0 u^2 (-du) = integral0^12 u^2 , du = [ u^33 ]0^12 = 124 :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Fazendo a substituição , :
Finalmente, a integral em :

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:
integral triplaE z^2 , dV = 2pi cdot 124 cdot 325 = 64pi120 = 16pi30 = 16pi15

Resposta

A resposta correta é .

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