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Passo 1

Beleza, vamos resolver um integral triplo onde precisamos calcular . O conjunto está definido por e . Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas esféricas para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A condição representa uma esfera de raio 2 centrada na origem. A segunda condição define um cone. Queremos a parte da esfera que está dentro desse cone.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Lembrando que:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 4

Agora, vamos identificar os limites de integração. A esfera tem raio máximo . Para o cone , substituindo as coordenadas esféricas, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Então, varia de a (pois estamos no quarto e primeiro quadrante do cone).

Passo 5

Agora, configuramos o integral em coordenadas esféricas:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos resolver as integrais separadamente.
Primeiro, a integral em :
Depois, a integral em :
Fazendo a substituição , :
Finalmente, a integral em :

Passo 7

Agora, multiplicamos os resultados das integrais:

Resposta

A resposta correta é .

Exercícios relacionados

As integrais de linha são integrais semelhantes a uma integral de uma função de variável real. Contudo ao contrário de integrarmos sobre um intervalo , integramos sobre uma curva . Elas foram criadas para resolver os problemas que envolviam o escoamento de líquidos, forças, eletricidade e magnetismo. Seja uma hélice circular dada pelas equações , em que , o valor da integral de linha dada por:
Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado lateralmente pelo cilindro e pelos planos e , abaixo pelo paraboloide e acima pelo semicone .
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Existem duas operações importantes que são realizadas em campos vetoriais. Elas são consideradas básicas na aplicação do cálculo vetorial à mecânica dos fluidos, à eletricidade e ao magnetismo. Cada uma lembra uma diferenciação, mas uma produz um campo vetorial enquanto a outra gera um campo escalar.
O enunciado se refere às operações de:
a. convergência e rotacional.
b. rotacional e divergência.
c. divergente e vetor.
d. vetor e divergente.
e. direcional e divergência.
é a região entre os círculos e , então
vale
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .