Beleza, vamos resolver um integral triplo onde precisamos calcular . O conjunto está definido por e . Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial e cálculo de integrais múltiplas, especificamente usando coordenadas esféricas para simplificar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região . A condição representa uma esfera de raio 2 centrada na origem. A segunda condição define um cone. Queremos a parte da esfera que está dentro desse cone.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas esféricas. Lembrando que:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de integração. A esfera tem raio máximo . Para o cone , substituindo as coordenadas esféricas, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Então, varia de a (pois estamos no quarto e primeiro quadrante do cone).
Passo 5
Agora, configuramos o integral em coordenadas esféricas: