é a região entre os círculos
e
, então
vale
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região entre dois círculos. O conteúdo aqui é de cálculo, especificamente integrais em coordenadas polares. Vamos precisar mudar as coordenadas para facilitar a conta e usar um pouquinho de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela está entre os círculos
e
. Em coordenadas polares, isso fica mais simples! Sabemos que
, então os círculos ficam
e
. Assim, os limites para
são de
até
.
Passo 3
Agora, vamos transformar a integral dupla para coordenadas polares. A integral original é:
Em coordenadas polares,
e
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro. Observe que
é uma função que pode ser integrada usando substituição. Vamos fazer
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Calculando os limites:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral vale
. Alternativa c).