é a região entre os círculos
e
, então
vale
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região entre dois círculos. O conteúdo aqui é de cálculo, especificamente integrais em coordenadas polares. Vamos precisar mudar as coordenadas para facilitar a conta e usar um pouquinho de trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela está entre os círculos
e
. Em coordenadas polares, isso fica mais simples! Sabemos que
, então os círculos ficam
e
. Assim, os limites para
são de
até
.
Passo 3
Agora, vamos transformar a integral dupla para coordenadas polares. A integral original é:
Em coordenadas polares,
e
. Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral em relação a
primeiro. Observe que
é uma função que pode ser integrada usando substituição. Vamos fazer
, então
ou
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Calculando os limites:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral vale
. Alternativa c).
Exercícios relacionados
Existem duas operações importantes que são realizadas em campos vetoriais. Elas são consideradas básicas na aplicação do cálculo vetorial à mecânica dos fluidos, à eletricidade e ao magnetismo. Cada uma lembra uma diferenciação, mas uma produz um campo vetorial enquanto a outra gera um campo escalar.
O enunciado se refere às operações de:
a. convergência e rotacional.
b. rotacional e divergência.
c. divergente e vetor.
d. vetor e divergente.
e. direcional e divergência.
O enunciado se refere às operações de:
a. convergência e rotacional.
b. rotacional e divergência.
c. divergente e vetor.
d. vetor e divergente.
e. direcional e divergência.
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Qual integral tripla, em coordenadas cartesianas e na ordem
, fornece o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelo plano z=0 e pelas superfícies
e
?