Se D é a região entre os círculos x^2+y^2=pi2 e x^2+y^2=pi, então
integral duplaD sen(x^2+y^2) d x d y
vale
a) 3 pi.
b) 4 pi / 3.
c) pi.
d) 2 pi.
e) pi / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região entre dois círculos. O conteúdo aqui é de cálculo, especificamente integrais em coordenadas polares. Vamos precisar mudar as coordenadas para facilitar a conta e usar um pouquinho de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela está entre os círculos e . Em coordenadas polares, isso fica mais simples! Sabemos que , então os círculos ficam e . Assim, os limites para são de até .

Passo 3

Agora, vamos transformar a integral dupla para coordenadas polares. A integral original é:
integral duplaD sin(x^2+y^2) , dx , dy
Em coordenadas polares, integral0^2pi integralraizpi2^raizpi sin(r^2) cdot r , dr , dtheta e . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral em relação a integralraizpi2^raizpi sin(r^2) cdot r , dr = 12 integralpi2^pi sin(u) , du primeiro. Observe que é uma função que pode ser integrada usando substituição. Vamos fazer , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integralpi2^pi sin(u) , du = 12 [-cos(u)]pi2^pi :
12 [-cos(pi) + cos(pi2)] = 12 [-(-1) + 0] = 12 cdot 1 = 12
Calculando os limites:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2pi 12 , dtheta = 12 cdot 2pi = pi :

Resposta

A integral vale . Alternativa c).

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