é a região entre os círculos e , então
vale
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre uma região entre dois círculos. O conteúdo aqui é de cálculo, especificamente integrais em coordenadas polares. Vamos precisar mudar as coordenadas para facilitar a conta e usar um pouquinho de trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela está entre os círculos e . Em coordenadas polares, isso fica mais simples! Sabemos que , então os círculos ficam e . Assim, os limites para são de até .

Passo 3

Agora, vamos transformar a integral dupla para coordenadas polares. A integral original é:
Em coordenadas polares, e . Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral em relação a primeiro. Observe que é uma função que pode ser integrada usando substituição. Vamos fazer , então ou .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar :
Calculando os limites:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

A integral vale . Alternativa c).

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Existem duas operações importantes que são realizadas em campos vetoriais. Elas são consideradas básicas na aplicação do cálculo vetorial à mecânica dos fluidos, à eletricidade e ao magnetismo. Cada uma lembra uma diferenciação, mas uma produz um campo vetorial enquanto a outra gera um campo escalar.
O enunciado se refere às operações de:
a. convergência e rotacional.
b. rotacional e divergência.
c. divergente e vetor.
d. vetor e divergente.
e. direcional e divergência.
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Qual integral tripla, em coordenadas cartesianas e na ordem , fornece o volume do sólido do primeiro octante, delimitado pelo plano z=0 e pelas superfícies e ?