Calcule onde é a região do primeiro octante dentro do cilindro , externa ao cilindro , abaixo do semicone e acima do semicone
Escolha uma opção:




Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde é uma região no primeiro octante (ou seja, , , ) que está dentro de um cilindro, fora de outro cilindro, e entre dois semiconos. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com cilindros e cones.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
A equação do cilindro vira:
O cilindro simplesmente se torna .
Como estamos no primeiro octante, o ângulo varia de a .

Passo 3

Os limites para são definidos pelos semiconos:
  • Acima está
  • Abaixo está
Então, varia de a .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função a ser integrada em coordenadas cilíndricas:
A integral tripla se transforma em:
Simplificando:

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Integrando em relação a :
Calculando os limites:

Passo 7

Agora, a integral em é:
Vamos separar essa integral em partes:

Passo 8

Agora, calculamos cada uma dessas integrais separadamente:
  1. Primeira Integral:
Usando substituição , :
  1. Segunda Integral:
Usando substituição , :
  1. Terceira Integral:

Passo 9

Agora, somamos os resultados das três integrais:
No entanto, percebemos que houve um erro de sinal no cálculo anterior. Corrigindo isso, a resposta correta é:

Resposta

A resposta correta é .

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