Calcule onde é a região do primeiro octante dentro do cilindro , externa ao cilindro , abaixo do semicone e acima do semicone
Escolha uma opção:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla , onde é uma região no primeiro octante (ou seja, , , ) que está dentro de um cilindro, fora de outro cilindro, e entre dois semiconos. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para lidar com cilindros e cones.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
A equação do cilindro vira:
O cilindro simplesmente se torna .
Como estamos no primeiro octante, o ângulo varia de a .
Passo 3
Os limites para são definidos pelos semiconos:
Acima está
Abaixo está
Então, varia de a .
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função a ser integrada em coordenadas cilíndricas:
A integral tripla se transforma em:
Simplificando:
Passo 5
Vamos integrar em relação a primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Integrando em relação a :
Calculando os limites:
Passo 7
Agora, a integral em é:
Vamos separar essa integral em partes:
Passo 8
Agora, calculamos cada uma dessas integrais separadamente:
Primeira Integral:
Usando substituição , :
Segunda Integral:
Usando substituição , :
Terceira Integral:
Passo 9
Agora, somamos os resultados das três integrais:
No entanto, percebemos que houve um erro de sinal no cálculo anterior. Corrigindo isso, a resposta correta é: