Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. 0 sólido limitado pelo cilindro elíptico os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está limitado por um cilindro elíptico dado pela equação e pelos planos e . A matéria que vamos usar aqui é a de integrais triplas, que servem exatamente para calcular volumes de sólidos com limites definidos por superfícies. Vamos precisar entender bem os limites de integração para montar a integral tripla direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma do cilindro elíptico. A equação pode ser simplificada dividindo ambos os lados por 4:
Isso nos mostra que o cilindro é elíptico, com semi-eixos no eixo e no eixo . Esse cilindro se estende ao longo de todo o eixo , já que não há termo envolvendo na equação.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Observe que o sólido está limitado pelos planos e . Isso significa que, para cada ponto no cilindro, varia de 0 até .
Para os limites em e , vamos usar a equação do cilindro:
Então, varia de até .
Para , observando a equação do cilindro, temos que:

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume :
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Agora, integramos em relação a . Como a função não depende de , fica:
Portanto, a integral agora é:
Essa integral pode ser simplificada aproveitando a simetria da função. Note que pode ser dividida em duas partes: e . A parte com será an ímpar e, ao integrar de a , essa parte vai dar zero. Focamos só na parte constante:
Fazemos uma substituição para facilitar a integral:
Os limites de ficam de a . A integral se transforma em:
Reconhecemos aqui a integral que representa a área de um quarto de círculo de raio :
Portanto, substituindo:

Resposta

O volume do sólido é .

Exercícios relacionados

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e calcule a área dessa região.
Calcule onde é a região do primeiro octante dentro do cilindro , externa ao cilindro , abaixo do semicone e acima do semicone
Escolha uma opção:




Derive as funções
b)
Derive as funções
k)