integral sen^2 2 x cos ^2 3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas ao quadrado. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas que nos ajudam a simplificar expressões com potências de seno e cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das identidades trigonométricas de potência reduzida:
sen^2 theta = 1 - cos 2theta2
Essas identidades vão nos ajudar a transformar as potências de seno e cosseno em expressões mais fáceis de integrar.

Passo 3

Vamos aplicar essas identidades na nossa integral:
Multiplicando as frações:
integral sen^2 2x cos^2 3x , dx = integral ( 1 - cos 4x2 ) ( 1 + cos 6x2 ) dx

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos dentro da integral:
= 14 integral [ 1 cdot 1 + 1 cdot cos 6x - cos 4x cdot 1 - cos 4x cdot cos 6x ] dx
= 14 integral [ 1 + cos 6x - cos 4x - cos 4x cos 6x ] dx
Para integrar cos 4x cos 6x, usamos a identidade de produto para cossenos:
cos A cos B = cos(A+B) + cos(A-B)2
Aplicando isso:
cos 4x cos 6x = cos 10x + cos (-2x)2 = cos 10x + cos 2x2

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
= 14 integral [ 1 + cos 6x - cos 4x - cos 10x + cos 2x2 ] dx
= 14 [ integral 1 , dx + integral cos 6x , dx - integral cos 4x , dx - 12 integral cos 10x , dx - 12 integral cos 2x , dx ]
Agora, vamos integrar cada termo:
integral 1 , dx = x
Aplicando isso:

Resposta

A integral é igual a:
onde integral sen^2 2x cos^2 3x , dx é a constante de integração.

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