integral cos x cos ^2 4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral cos x cos^2 4x , dx. Aqui a gente tá lidando com funções trigonométricas, especificamente o produto de cos x e cos^2 4x. Para resolver isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas que vão simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^2 4x. Lembra que existe uma identidade trigonométrica que diz:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Aplicando essa identidade com theta = 4x, temos:
cos^2 4x = 1 + cos 8x2

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral cos x cos^2 4x , dx = integral cos x (1 + cos 8x2) dx = 12 integral cos x , dx + 12 integral cos x cos 8x , dx

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral, que é bem direta:
12 integral cos x , dx = 12 sin x

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral: 12 integral cos x cos 8x , dx. Para resolver isso, usamos a identidade do produto de cossenos:
cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B)2
Aplicando com A = x e B = 8x, fica:
cos x cos 8x = cos 9x + cos (-7x)2 = cos 9x + cos 7x2

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
12 integral cos x cos 8x , dx = 12 integral cos 9x + cos 7x2 , dx = 14 integral cos 9x , dx + 14 integral cos 7x , dx
Integrando cada termo:
14 integral cos 9x , dx = 14 cdot sin 9x9 = sin 9x36
14 integral cos 7x , dx = 14 cdot sin 7x7 = sin 7x28

Passo 7

Agora, juntamos todas as partes:
12 sin x + sin 9x36 + sin 7x28 + C

Resposta

A integral vale 12 sin x + sin 9x36 + sin 7x28 + C.

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