Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e calcule a área dessa região.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções aqui:
e
. A tarefa é desenhar as curvas dessas funções no gráfico, identificar a região onde elas se encontram e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, onde
. Vamos igualar as duas funções:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Vamos expandir o lado direito da equação:
Então:
Agora, temos:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Agora, precisamos resolver
.
Passo 5
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando valores simples, vemos que
satisfaz a equação:
Então,
é um fator da equação. Vamos fazer a divisão polinomial ou usar a fatoração para simplificar:
Agora, vamos fatorar
:
Então, as raízes são
,
e
.
Passo 6
Agora que temos os pontos de interseção em
,
e
, vamos determinar qual função está acima da outra em cada intervalo.
Vamos escolher valores de teste em cada intervalo:
-
Para
, digamos :
Então,. -
Para
, digamos :
Então,. -
Para
, digamos :
Então,. -
Para
, digamos :
Então,.
Passo 7
Agora, vamos identificar a região delimitada pelas curvas. Observamos que há duas áreas onde as funções se cruzam:
- Entre
e , onde está acima de . - Entre
e , onde está acima de .
Vamos calcular a área dessas regiões separadamente e depois somar.
Passo 8
Para a primeira região, de
a
, a área
é:
Para a segunda região, de
a
, a área
é:
Passo 9
Vamos calcular
:
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então:
Passo 10
Agora, vamos calcular
:
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então:
Resposta
A área total da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Calcule
onde
é a região do primeiro octante dentro do cilindro
, externa ao cilindro
, abaixo do semicone
e acima do semicone
Escolha uma opção:
Escolha uma opção:
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. 0 sólido limitado pelo cilindro elíptico
os planos
e
.
Derive as funções
b)
b)