Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e calcule a área dessa região.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções aqui: e . A tarefa é desenhar as curvas dessas funções no gráfico, identificar a região onde elas se encontram e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar encontrar os pontos de interseção das duas curvas e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas funções se encontram, ou seja, onde . Vamos igualar as duas funções:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Vamos expandir o lado direito da equação:
Então:
Agora, temos:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Agora, precisamos resolver .

Passo 5

Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando valores simples, vemos que satisfaz a equação:
Então, é um fator da equação. Vamos fazer a divisão polinomial ou usar a fatoração para simplificar:
Agora, vamos fatorar :
Então, as raízes são , e .

Passo 6

Agora que temos os pontos de interseção em , e , vamos determinar qual função está acima da outra em cada intervalo.
Vamos escolher valores de teste em cada intervalo:
  1. Para , digamos :


    Então, .
  2. Para , digamos :


    Então, .
  3. Para , digamos :


    Então, .
  4. Para , digamos :


    Então, .

Passo 7

Agora, vamos identificar a região delimitada pelas curvas. Observamos que há duas áreas onde as funções se cruzam:
  1. Entre e , onde está acima de .
  2. Entre e , onde está acima de .
Vamos calcular a área dessas regiões separadamente e depois somar.

Passo 8

Para a primeira região, de a , a área é:
Para a segunda região, de a , a área é:

Passo 9

Vamos calcular :
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando em :
Calculando em :
Então:

Passo 10

Agora, vamos calcular :
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando em :
Calculando em :
Então:

Resposta

A área total da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

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Calcule onde é a região do primeiro octante dentro do cilindro , externa ao cilindro , abaixo do semicone e acima do semicone
Escolha uma opção:




Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. 0 sólido limitado pelo cilindro elíptico os planos e .
Derive as funções
b)