integral0^2 integralx^2^2 x(x^3+4 y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: .
Aqui, estamos lidando com integrais duplas na matéria de Cálculo. O que precisamos fazer é integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função integralx^2^2x (x^3 + 4y) dy = x^3 y + 2y^2 |y = x^2^y = 2x em relação a . Lembre-se que, quando integramos com relação a , tratamos como uma constante.
A integral de em relação a é simplesmente , pois é constante em relação a .
Já a integral de em relação a é , usando a regra básica de integração .
Então, a integral interna fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de = [ x^3(2x) + 2(2x)^2 ] - [ x^3(x^2) + 2(x^2)^2 ] e x^3(2x) = 2x^4 :
2(2x)^2 = 2 cdot 4x^2 = 8x^2
Simplificando cada parte:
Primeiro termo:
x^3(x^2) = x^5
2(x^2)^2 = 2x^4
Então, (2x^4 + 8x^2) - (x^5 + 2x^4) = -x^5 + 0x^4 + 8x^2 = -x^5 + 8x^2
Segundo termo:
Então,
Subtraindo:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado integral0^2 (-x^5 + 8x^2) dx em relação a integral -x^5 dx = -16x^6 , de 0 a 2:
integral 8x^2 dx = 83x^3
Integrando termo a termo:
-16x^6 + 83x^3 |0^2
Então, temos:

Passo 5

Vamos agora substituir os limites de integração:
Para -16(2)^6 + 83(2)^3 = -16(64) + 83(8) = -646 + 643 = -323 + 643 = 323 :
-16(0)^6 + 83(0)^3 = 0 + 0 = 0
Para 323 - 0 = 323 :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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