Calcule integral triplaE d V, onde E é o sólido dentro de uma esfera de raio a e centro na origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE d V, que representa o volume de um sólido E. Esse sólido é uma esfera com raio a e centro na origem. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais triplas e coordenadas esféricas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma esfera centrada na origem com raio a pode ser descrita pelas coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores: rho (a distância até a origem), theta (o ângulo no plano xy) e phi (o ângulo a partir do eixo z).

Passo 3

A transformação para coordenadas esféricas nos ajuda a simplificar a integração sobre uma esfera. A relação entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas (rho, theta, phi) é dada por:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi

Passo 4

O diferencial de volume em coordenadas esféricas é importante para a integral. Ele é dado por:
dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Esse termo rho^2 sinphi é o fator de escala que ajusta o volume quando mudamos para coordenadas esféricas.

Passo 5

Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Como estamos calculando sobre toda a esfera de raio a:
  • rho varia de 0 a a
  • theta varia de 0 a 2pi (para cobrir todo o círculo no plano xy)
  • phi varia de 0 a pi (para cobrir de cima a baixo da esfera)

Passo 6

Montamos então a integral tripla usando esses limites e o diferencial de volume:
integral triplaE dV = integral0^2pi integral0^pi integral0^a rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos começar integrando em relação a rho:
integral0^a rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^a = a^33

Passo 8

Agora, integramos em relação a phi:
integral0^pi sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi = -cospi + cos0 = 2

Passo 9

Por último, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 10

Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais:
a^33 times 2 times 2pi = 43 pi a^3

Resposta

O volume da esfera é dfrac43 pi a^3.

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