Calcule
, onde
é o sólido dentro de uma esfera de raio
e centro na origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, que representa o volume de um sólido
. Esse sólido é uma esfera com raio
e centro na origem. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais triplas e coordenadas esféricas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma esfera centrada na origem com raio
pode ser descrita pelas coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por três valores:
(a distância até a origem),
(o ângulo no plano xy) e
(o ângulo a partir do eixo z).
Passo 3
A transformação para coordenadas esféricas nos ajuda a simplificar a integração sobre uma esfera. A relação entre as coordenadas cartesianas
e esféricas
é dada por:
Passo 4
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é importante para a integral. Ele é dado por:
Esse termo
é o fator de escala que ajusta o volume quando mudamos para coordenadas esféricas.
Passo 5
Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Como estamos calculando sobre toda a esfera de raio
:
-
varia de a -
varia de a (para cobrir todo o círculo no plano xy) -
varia de a (para cobrir de cima a baixo da esfera)
Passo 6
Montamos então a integral tripla usando esses limites e o diferencial de volume:
Passo 7
Vamos começar integrando em relação a
:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Passo 9
Por último, integramos em relação a
:
Passo 10
Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais:
Resposta
O volume da esfera é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
Considere a integral tripla iterada
Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.
Calcule o volume do sólido que está acima do plano
e abaixo da esfera
.
Considere a integral tripla iterada
Transforme a integral utilizando coordenadas cilíndricas.