Considere a integral tripla iterada
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 d z d y d x
Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma integral tripla que calcula o volume de um sólido no espaço tridimensional. O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos analisar os limites da integral para entender as fronteiras do sólido que estamos descrevendo.

Passo 2

Primeiro, olhe para o limite mais externo da integral, que é a variável . Ela varia de até . Isso significa que o sólido se estende ao longo do eixo desde até .

Passo 3

Dentro desses valores de , temos o limite para , que vai de até . Isso descreve uma região circular no plano com raio , já que . Então, para cada valor de , varia dentro de um círculo de raio .

Passo 4

Agora, para cada ponto dentro desse círculo, a variável varia de até . A parte inferior, , representa um paraboloide que se abre para cima. A parte superior, , representa outro paraboloide, mas este se abre para baixo.

Passo 5

Quando a gente junta tudo isso, o sólido que estamos descrevendo é a região do espaço que está entre esses dois paraboloides, limitado pelo círculo no plano . Visualmente, parece uma espécie de “prato” ou “anel” com uma parte inferior arredondada para cima e uma parte superior arredondada para baixo, encontrando-se ao longo da borda do círculo.

Resposta

O sólido descrito pela integral tripla é a região do espaço confinada entre o paraboloide que se abre para cima e o paraboloide que se abre para baixo, limitada no plano pelo círculo .

Exercícios relacionados

Esboce a região de integração e calcule a integral.
integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é o sólido entre o cone z=raizx^2+y^2 e o plano z=1.
lim x -4(1-tg x) sec x
Mostre que
integral0^x(integral0^v[integral0^u f(t) d t] d u) d v=12 integral0^x(x-t)^2 f(t) d t
Calcule integral triplaE d V, onde E é o sólido dentro de uma esfera de raio a e centro na origem.