Considere a integral tripla iterada
Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos uma integral tripla que calcula o volume de um sólido no espaço tridimensional. O conteúdo aqui é de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos analisar os limites da integral para entender as fronteiras do sólido que estamos descrevendo.
Passo 2
Primeiro, olhe para o limite mais externo da integral, que é a variável
. Ela varia de
até
. Isso significa que o sólido se estende ao longo do eixo
desde
até
.
Passo 3
Dentro desses valores de
, temos o limite para
, que vai de
até
. Isso descreve uma região circular no plano
com raio
, já que
. Então, para cada valor de
,
varia dentro de um círculo de raio
.
Passo 4
Agora, para cada ponto
dentro desse círculo, a variável
varia de
até
. A parte inferior,
, representa um paraboloide que se abre para cima. A parte superior,
, representa outro paraboloide, mas este se abre para baixo.
Passo 5
Quando a gente junta tudo isso, o sólido que estamos descrevendo é a região do espaço que está entre esses dois paraboloides, limitado pelo círculo
no plano
. Visualmente, parece uma espécie de “prato” ou “anel” com uma parte inferior arredondada para cima e uma parte superior arredondada para baixo, encontrando-se ao longo da borda do círculo.
Resposta
O sólido descrito pela integral tripla é a região do espaço confinada entre o paraboloide
que se abre para cima e o paraboloide
que se abre para baixo, limitada no plano
pelo círculo
.
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e calcule a integral.
, onde
é o sólido entre o cone
e o plano
.
Mostre que
Calcule
, onde
é o sólido dentro de uma esfera de raio
e centro na origem.