Considere a integral tripla iterada
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 d z d y d x
Transforme a integral utilizando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas e queremos transformá-la para coordenadas cilíndricas. Isso envolve entender os limites de integração e como eles se traduzem nas novas coordenadas. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas cilíndricas, que simplificam integrais envolvendo simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em vez de usar x = r cos theta, y = r sin theta, z = z , dV = r , dz , dr , dtheta e , usamos (a distância radial do eixo ), (o ângulo em torno do eixo ) e permanece o mesmo. As relações são:
E o elemento de volume muda para:

Passo 3

Agora, vamos analisar os limites de integração originais:
  • varia de a .
  • Para cada , varia de a .
  • Para cada , varia de a .
Isso descreve uma região simétrica em torno do eixo , o que é perfeito para coordenadas cilíndricas.

Passo 4

Vamos começar definindo os limites para r^2 <= 2 implies r <= raiz2 . Observando os limites de e , vemos que . Em coordenadas cilíndricas, isso significa:
Então, varia de 0 a .

Passo 5

Para o ângulo 0 <= theta <= 2pi , como a região é simétrica em torno do eixo e completa em todas as direções, varia de a .

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites para z vai de r^2 a 4 - r^2 . No enunciado, varia de a . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:

Passo 7

Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume é integral0^2pi integral0^raiz2 integralr^2^4 - r^2 r , dz , dr , dtheta :

Resposta

A integral tripla iterada transformada para coordenadas cilíndricas é:
integral0^2pi integral0^raiz2 integralr^2^4 - r^2 r , dz , dr , dtheta

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