Considere a integral tripla iterada
Transforme a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas e queremos transformá-la para coordenadas cilíndricas. Isso envolve entender os limites de integração e como eles se traduzem nas novas coordenadas. Para isso, vamos usar conceitos de coordenadas cilíndricas, que simplificam integrais envolvendo simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Em vez de usar
,
e
, usamos
(a distância radial do eixo
),
(o ângulo em torno do eixo
) e
permanece o mesmo. As relações são:
E o elemento de volume muda para:
Passo 3
Agora, vamos analisar os limites de integração originais:
-
varia de a . - Para cada
, varia de a . - Para cada
, varia de a .
Isso descreve uma região simétrica em torno do eixo
, o que é perfeito para coordenadas cilíndricas.
Passo 4
Vamos começar definindo os limites para
. Observando os limites de
e
, vemos que
. Em coordenadas cilíndricas, isso significa:
Então,
varia de 0 a
.
Passo 5
Para o ângulo
, como a região é simétrica em torno do eixo
e completa em todas as direções,
varia de
a
.
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites para
. No enunciado,
varia de
a
. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Passo 7
Com todos os limites definidos, podemos escrever a integral em coordenadas cilíndricas. Lembrando que o elemento de volume é
:
Resposta
A integral tripla iterada transformada para coordenadas cilíndricas é: