Mostre que
integral0^x(integral0^v[integral0^u f(t) d t] d u) d v=12 integral0^x(x-t)^2 f(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que um certo integral triplo é igual a outro integral único com uma expressão específica. Estamos lidando com integrais múltiplos e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como manipular as integrais aninhadas e usar algumas propriedades básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que temos:
integral0^x ( integral0^v [ integral0^u f(t) , dt ] du ) dv
Aqui, temos um integral triplo, onde cada integral está dentro do outro. Para simplificar, vamos tentar trocar a ordem de integração. Isso geralmente facilita a resolução.

Passo 3

Vamos visualizar os limites de integração. Os limites dizem que vai de 0 até , vai de 0 até , e vai de 0 até . Se mudarmos a ordem para integrar primeiro em , depois em , e por último em , precisamos ajustar os limites de acordo.

Passo 4

Ao trocar a ordem de integração, fixamos primeiro. Para cada valor de , varia de até , e varia de até . Mas podemos simplificar isso entendendo que, para cada , varia de até .

Passo 5

Agora, reescrevemos o integral com a nova ordem:
integral0^x ( integralt^x ( integralu^x dv ) du ) f(t) , dt
Calculando o integral mais interno:
integralu^x dv = x - u

Passo 6

Substituindo de volta:
integral0^x ( integralt^x (x - u) , du ) f(t) , dt
Agora, vamos calcular o integral em integralt^x (x - u) , du :

Passo 7

Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Vamos integrar integral (x - u) , du = x u - u^22 + C em relação a [ x u - u^22 ]t^x = ( x cdot x - x^22 ) - ( x t - t^22 ) = x^22 - x t + t^22 :
(x - t)^22
Avaliado de a :
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos de volta no integral principal:
integral0^x (x - t)^22 f(t) , dt = 12 integral0^x (x - t)^2 f(t) , dt

Resposta

Assim, mostramos que
integral0^x(integral0^v[integral0^u f(t) , dt] du) dv = 12 integral0^x (x - t)^2 f(t) , dt

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Considere a integral tripla iterada
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 d z d y d x
Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.
Esboce a região de integração e calcule a integral.
integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é o sólido entre o cone z=raizx^2+y^2 e o plano z=1.
Calcule integral triplaE d V, onde E é o sólido dentro de uma esfera de raio a e centro na origem.
Calcule o volume do sólido que está acima do plano z = 2 * raiz(3) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16.