Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que um certo integral triplo é igual a outro integral único com uma expressão específica. Estamos lidando com integrais múltiplos e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como manipular as integrais aninhadas e usar algumas propriedades básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que temos:
Aqui, temos um integral triplo, onde cada integral está dentro do outro. Para simplificar, vamos tentar trocar a ordem de integração. Isso geralmente facilita a resolução.
Passo 3
Vamos visualizar os limites de integração. Os limites dizem que
vai de 0 até
,
vai de 0 até
, e
vai de 0 até
. Se mudarmos a ordem para integrar primeiro em
, depois em
, e por último em
, precisamos ajustar os limites de acordo.
Passo 4
Ao trocar a ordem de integração, fixamos
primeiro. Para cada valor de
,
varia de
até
, e
varia de
até
. Mas podemos simplificar isso entendendo que, para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Agora, reescrevemos o integral com a nova ordem:
Calculando o integral mais interno:
Passo 6
Substituindo de volta:
Agora, vamos calcular o integral em
:
Passo 7
Para resolver isso, fazemos uma substituição simples. Vamos integrar
em relação a
:
Avaliado de
a
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos de volta no integral principal:
Resposta
Assim, mostramos que
Exercícios relacionados
Considere a integral tripla iterada
Descreva o sólido cujo volume é dado por essa integral.
Esboce a região de integração e calcule a integral.
, onde
é o sólido entre o cone
e o plano
.
Calcule
, onde
é o sólido dentro de uma esfera de raio
e centro na origem.
Calcule o volume do sólido que está acima do plano
e abaixo da esfera
.