Calcule o volume do sólido que está acima do plano
e abaixo da esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de uma região que fica acima do plano
e abaixo da esfera dada pela equação
. Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com volumes de sólidos usando equações de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre esferas e planos, e como calcular volumes usando integrais ou fórmulas geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a esfera
. Essa é uma esfera centrada na origem (0,0,0) com raio
. O plano
é uma superfície plana paralela ao plano xy e está localizado a uma altura de
acima do eixo xy.
Passo 3
Queremos encontrar o volume que está acima desse plano e dentro da esfera. Basicamente, estamos procurando o volume de uma “cúpula” da esfera que está acima do plano
.
Passo 4
Para calcular esse volume, podemos usar a fórmula do volume de uma esfera e calcular a fração que corresponde a essa cúpula. A fórmula do volume total da esfera é
.
Passo 5
Mas precisamos de uma maneira mais específica para calcular o volume acima de um plano. A fórmula para o volume de uma cúpula esférica (o volume acima de um plano que corta a esfera) é dada por:
onde
é a altura da cúpula e
é o raio da esfera.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a altura
da cúpula. O plano
corta a esfera em uma altura específica. A altura
pode ser encontrada subtraindo a distância do plano ao topo da esfera. Como o raio da esfera é 4, e o plano está a
acima do eixo xy, temos:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na fórmula do volume da cúpula:
Passo 8
Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, calculemos
:
Passo 9
Agora, calculemos
:
Passo 10
Substituindo de volta na fórmula do volume:
Passo 11
Multiplicando os termos dentro dos parênteses:
Passo 12
Então, o volume fica:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é o sólido dentro de uma esfera de raio
e centro na origem.
Mostre que
Considere a integral tripla iterada
Transforme a integral utilizando coordenadas cilíndricas.
A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por um elipsoide com
e
. Use o item a) para estimar o volume da Terra.