Calcule o volume do sólido que está acima do plano z = 2 * raiz(3) e abaixo da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de uma região que fica acima do plano e abaixo da esfera dada pela equação . Aqui, estamos lidando com geometria espacial, especificamente com volumes de sólidos usando equações de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre esferas e planos, e como calcular volumes usando integrais ou fórmulas geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a esfera . Essa é uma esfera centrada na origem (0,0,0) com raio . O plano é uma superfície plana paralela ao plano xy e está localizado a uma altura de acima do eixo xy.

Passo 3

Queremos encontrar o volume que está acima desse plano e dentro da esfera. Basicamente, estamos procurando o volume de uma “cúpula” da esfera que está acima do plano .

Passo 4

Para calcular esse volume, podemos usar a fórmula do volume de uma esfera e calcular a fração que corresponde a essa cúpula. A fórmula do volume total da esfera é .

Passo 5

Mas precisamos de uma maneira mais específica para calcular o volume acima de um plano. A fórmula para o volume de uma cúpula esférica (o volume acima de um plano que corta a esfera) é dada por:
onde é a altura da cúpula e é o raio da esfera.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a altura da cúpula. O plano corta a esfera em uma altura específica. A altura pode ser encontrada subtraindo a distância do plano ao topo da esfera. Como o raio da esfera é 4, e o plano está a acima do eixo xy, temos:

Passo 7

Agora, substituímos e na fórmula do volume da cúpula:

Passo 8

Vamos simplificar isso passo a passo. Primeiro, calculemos :

Passo 9

Agora, calculemos :

Passo 10

Substituindo de volta na fórmula do volume:

Passo 11

Multiplicando os termos dentro dos parênteses:

Passo 12

Então, o volume fica:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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