Calcule
, onde
está está acima do paraboloide
e abaixo do plano
. Utilize a Tabela de Integrais (veja as Páginas de Referência) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral tripla de
sobre a região
que está acima do paraboloide
e abaixo do plano
. Para isso, vamos usar coordenadas apropriadas e entender como essas superfícies se intersectam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde o paraboloide
e o plano
se encontram. Igualando as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar essa equação para entender melhor a região de integração:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em
no plano
.
Passo 4
Com isso, sabemos que a projeção da região
no plano
é o círculo
. Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, mas primeiro fazemos uma mudança de variável para centralizar o círculo.
Vamos definir
. Assim, a equação do círculo fica:
Agora, em coordenadas polares:
E a região de integração é
e
.
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
e
. Lembrando que
. Então:
E o paraboloide:
Passo 6
A altura
varia do paraboloide ao plano, então os limites de
são de
até
. Agora, montamos a integral tripla:
Aqui,
aparece devido ao Jacobiano da mudança para coordenadas polares.
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Passo 8
Calculando cada termo:
Então, a diferença é:
Passo 9
Agora, multiplicamos por
e integramos em
e
:
Simplificando:
Passo 10
Integrando em
:
Simplificando:
Passo 11
Agora, integramos em
:
Separando as integrais:
Resposta
O valor da integral tripla
é
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
duas funções contínuas em
e
constante. Prove que:
© é contínua em
©
Sabendo que para cada
tem-se que
se tal limite existe, calcule, se possível,
em cada caso a seguir:
(a)
(a)
Analise a continuidade das seguintes funções:
(f)
(f)
Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.