Calcule , onde está está acima do paraboloide e abaixo do plano . Utilize a Tabela de Integrais (veja as Páginas de Referência) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral tripla de sobre a região que está acima do paraboloide e abaixo do plano . Para isso, vamos usar coordenadas apropriadas e entender como essas superfícies se intersectam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde o paraboloide e o plano se encontram. Igualando as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para entender melhor a região de integração:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em no plano .

Passo 4

Com isso, sabemos que a projeção da região no plano é o círculo . Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, mas primeiro fazemos uma mudança de variável para centralizar o círculo.
Vamos definir . Assim, a equação do círculo fica:
Agora, em coordenadas polares:
E a região de integração é e .

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de e . Lembrando que . Então:
E o paraboloide:

Passo 6

A altura varia do paraboloide ao plano, então os limites de são de até . Agora, montamos a integral tripla:
Aqui, aparece devido ao Jacobiano da mudança para coordenadas polares.

Passo 7

Vamos resolver a integral em primeiro:

Passo 8

Calculando cada termo:
Então, a diferença é:

Passo 9

Agora, multiplicamos por e integramos em e :
Simplificando:

Passo 10

Integrando em :
Simplificando:

Passo 11

Agora, integramos em :
Separando as integrais:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Sejam e duas funções contínuas em e constante. Prove que:
© é contínua em
Sabendo que para cada tem-se que se tal limite existe, calcule, se possível, em cada caso a seguir:
(a)
Analise a continuidade das seguintes funções:
(f)
Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.