Calcule integral triplaE z d V, onde E está está acima do paraboloide z=x^2+y^2 e abaixo do plano z=2 y. Utilize a Tabela de Integrais (veja as Páginas de Referência) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral tripla de sobre a região que está acima do paraboloide e abaixo do plano . Para isso, vamos usar coordenadas apropriadas e entender como essas superfícies se intersectam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde o paraboloide x^2 + y^2 = 2y e o plano se encontram. Igualando as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para entender melhor a região de integração:
x^2 + y^2 - 2y = 0 x^2 + (y^2 - 2y) = 0 x^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0 x^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em no plano .

Passo 4

Com isso, sabemos que a projeção da região x^2 + y'^2 <= 1 no plano x = r costheta y' = r sintheta é o círculo . Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, mas primeiro fazemos uma mudança de variável para centralizar o círculo.
Vamos definir . Assim, a equação do círculo fica:
Agora, em coordenadas polares:
E a região de integração é e .

Passo 5

Agora, precisamos expressar z = 2y = 2(r sintheta + 1) = 2r sintheta + 2 em termos de z = x^2 + y^2 = r^2 cos^2theta + (r sintheta + 1)^2 = r^2 cos^2theta + r^2 sin^2theta + 2r sintheta + 1 = r^2 + 2r sintheta + 1 e . Lembrando que . Então:
E o paraboloide:

Passo 6

A altura integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^2 + 2r sintheta + 1^2r sintheta + 2 z cdot r , dz , dr , dtheta varia do paraboloide ao plano, então os limites de são de até . Agora, montamos a integral tripla:
Aqui, aparece devido ao Jacobiano da mudança para coordenadas polares.

Passo 7

Vamos resolver a integral em integralr^2 + 2r sintheta + 1^2r sintheta + 2 z , dz = [ z^22 ]r^2 + 2r sintheta + 1^2r sintheta + 2 = (2r sintheta + 2)^22 - (r^2 + 2r sintheta + 1)^22 primeiro:

Passo 8

Calculando cada termo:
(2r sintheta + 2)^2 = 4r^2 sin^2theta + 8r sintheta + 4 (r^2 + 2r sintheta + 1)^2 = r^4 + 4r^3 sintheta + 6r^2 sin^2theta + 4r sintheta + 1
Então, a diferença é:
4r^2 sin^2theta + 8r sintheta + 4 - (r^4 + 4r^3 sintheta + 6r^2 sin^2theta + 4r sintheta + 1)2 = -r^4 - 4r^3 sintheta - 2r^2 sin^2theta + 4r sintheta + 32

Passo 9

Agora, multiplicamos por integral triplaE z , dV = integral0^2pi integral0^1 ( -r^4 - 4r^3 sintheta - 2r^2 sin^2theta + 4r sintheta + 32 ) r , dr , dtheta e integramos em = 12 integral0^2pi integral0^1 (-r^5 - 4r^4 sintheta - 2r^3 sin^2theta + 4r^2 sintheta + 3r) , dr , dtheta e :
Simplificando:

Passo 10

Integrando em integral0^1 (-r^5 - 4r^4 sintheta - 2r^3 sin^2theta + 4r^2 sintheta + 3r) , dr = -16 - 45 sintheta - 24 sin^2theta + 43 sintheta + 32 :
= -16 - 45 sintheta - 12 sin^2theta + 43 sintheta + 32 = ( -16 + 32 ) + ( -45 + 43 ) sintheta - 12 sin^2theta = 86 + ( -1215 + 2015 ) sintheta - 12 sin^2theta = 43 + 815 sintheta - 12 sin^2theta
Simplificando:

Passo 11

Agora, integramos em integral triplaE z , dV = 12 integral0^2pi ( 43 + 815 sintheta - 12 sin^2theta ) dtheta :
= 12 ( 43 cdot 2pi + 815 cdot 0 - 12 cdot pi ) = 12 ( 8pi3 - pi2 ) = 12 ( 16pi6 - 3pi6 ) = 12 cdot 13pi6 = 13pi12
Separando as integrais:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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