Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante que nos ajudará a simplificar a equação e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear.
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos a equação na forma:
onde:
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante (
) que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Explicação: Multiplicar pela fator integrante transforma a parte esquerda da equação em uma derivada total, facilitando a integração.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Simplificando a integral do lado esquerdo:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver a integral no lado direito, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então:
Substituindo na integral:
Como
:
Essa integral é conhecida como a Função Integral Exponencial
.
Passo 7
Substituindo de volta
:
Agora, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a Função Integral Exponencial e
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Analise a continuidade das seguintes funções:
(f)
(f)
Calcule
, onde
está está acima do paraboloide
e abaixo do plano
. Utilize a Tabela de Integrais (veja as Páginas de Referência) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral.
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de
a
.