Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar um fator integrante que nos ajudará a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para o formato padrão de uma equação diferencial linear.
Dividindo ambos os lados por :
Agora, temos a equação na forma:
onde:

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante ( ) que vai nos ajudar a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
Explicação: Multiplicar pela fator integrante transforma a parte esquerda da equação em uma derivada total, facilitando a integração.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Simplificando a integral do lado esquerdo:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral no lado direito, fazemos uma substituição. Vamos deixar , então:
Substituindo na integral:
Como :
Essa integral é conhecida como a Função Integral Exponencial .

Passo 7

Substituindo de volta :
Agora, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a Função Integral Exponencial e é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Analise a continuidade das seguintes funções:
(f)
Calcule , onde está está acima do paraboloide e abaixo do plano . Utilize a Tabela de Integrais (veja as Páginas de Referência) ou um sistema de computação algébrica para calcular a integral.
.
Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção de a .