Calcule
, onde
está delimitado pelos planos
e
pelos cilindros
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre a região
, que está limitada pelos planos
e
e pelos cilindros
e
. Aqui, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especialmente em coordenadas cilíndricas, já que temos cilindros na região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Temos dois cilindros concêntricos com raios diferentes:
(porque
) e
(porque
). A região
está entre esses dois cilindros.
Além disso, a altura da região é limitada pelos planos
e
.
Passo 3
Como estamos lidando com cilindros, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
E o elemento de volume é:
Passo 4
Agora, vamos expressar os limites de integração:
- Para
, vai de 2 a 3 (entre os cilindros). - Para
, vai de 0 a (completando a volta ao redor dos cilindros). - Para
, vai de 0 até . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral tripla:
Aqui,
e
.
Passo 6
Vamos simplificar a integral:
Calculando a integral em
:
Portanto:
Passo 7
Expandindo a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos separar a integral em três partes:
Passo 9
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira Integral:
E:
Então, a primeira parte é:
Segunda Integral:
A função
é ímpar em
sobre o intervalo
, então a integral resulta em zero.
Terceira Integral:
Portanto, a terceira parte também é zero.