Calcule integral triplaE x d V, onde E está delimitado pelos planos z=0 e z=x+y+13 e pelos cilindros x^2+y^2=4 e x^2+y^2=9 R: 65 pi / 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que está limitada pelos planos e e pelos cilindros e . Aqui, vamos usar cálculo de integrais múltiplas, especialmente em coordenadas cilíndricas, já que temos cilindros na região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Temos dois cilindros concêntricos com raios diferentes: (porque ) e (porque ). A região está entre esses dois cilindros.
Além disso, a altura da região é limitada pelos planos e .

Passo 3

Como estamos lidando com cilindros, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta, y = r sin theta, z = z
E o elemento de volume é:
dV = r , dz , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos expressar os limites de integração:
  • Para z = r cos theta + r sin theta + 13 = r (cos theta + sin theta) + 13 , vai de 2 a 3 (entre os cilindros).
  • Para , vai de 0 a (completando a volta ao redor dos cilindros).
  • Para , vai de 0 até . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral tripla:
integral triplaE x , dV = integral0^2pi integral2^3 integral0^r(cos theta + sin theta) + 13 (r cos theta) cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, e .

Passo 6

Vamos simplificar a integral:
integral triplaE x , dV = integral0^2pi integral2^3 r^2 cos theta [ z ]0^r(cos theta + sin theta) + 13 dr , dtheta
Calculando a integral em integral0^r(cos theta + sin theta) + 13 dz = r(cos theta + sin theta) + 13 :
integral triplaE x , dV = integral0^2pi integral2^3 r^2 cos theta ( r(cos theta + sin theta) + 13 ) dr , dtheta
Portanto:

Passo 7

Expandindo a expressão dentro da integral:
r^2 cos theta ( r cos theta + r sin theta + 13 ) = r^3 cos^2 theta + r^3 cos theta sin theta + 13 r^2 cos theta
Então, a integral fica:
integral triplaE x , dV = integral0^2pi integral2^3 ( r^3 cos^2 theta + r^3 cos theta sin theta + 13 r^2 cos theta ) dr , dtheta

Passo 8

Vamos separar a integral em três partes:
integral triplaE x , dV = integral0^2pi integral2^3 r^3 cos^2 theta , dr , dtheta + integral0^2pi integral2^3 r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta + integral0^2pi integral2^3 13 r^2 cos theta , dr , dtheta

Passo 9

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira Integral:
integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi
E:
integral2^3 r^3 , dr = 3^44 - 2^44 = 814 - 164 = 654
Então, a primeira parte é:
pi cdot 654 = 65pi4
Segunda Integral:
A função integral0^2pi cos theta , dtheta = 0 é ímpar em sobre o intervalo , então a integral resulta em zero.
Terceira Integral:
Portanto, a terceira parte também é zero.

Resposta

integral triplaE x , dV = 65,pi4

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