Esboce o gráfico de r(t) e mostre o sentido crescente de t.
25. r(t) = 2t * 1 + t * j

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos esboçar o gráfico da função vetorial e mostrar como o parâmetro t está aumentando ao longo desse gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções vetoriais no plano e entender como cada componente da função afeta a posição no gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as componentes da função vetorial:
Aqui, representa a direção no eixo x e no eixo y. Isso significa que para cada valor de t, temos uma posição específica no plano.

Passo 3

Para relacionar x e y, podemos eliminar o parâmetro t. Da segunda equação, temos:
Substituindo esse valor na primeira equação:
Assim, a relação entre x e y é uma reta com inclinação 2, descrita pela equação .

Passo 4

Agora, vamos escolher alguns valores de t para plotar pontos no gráfico:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Esses pontos vão nos ajudar a desenhar a reta.

Passo 5

Plotando os pontos selecionados e ligando-os, obtemos uma reta que passa pela origem com inclinação 2. Isso significa que para cada aumento de 1 na direção y, há um aumento de 2 na direção x.

Passo 6

Para mostrar o sentido crescente de t, observamos que conforme t aumenta, tanto x quanto y aumentam. Portanto, o movimento no gráfico vai do ponto para , depois para , e assim por diante, seguindo a direção crescente de t.

Resposta

O gráfico de r(t) é uma reta no plano com equação , passando pela origem. Conforme t aumenta, o ponto se move ao longo da reta na direção ascendente, indo de para , , , etc.

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