(k) integral x cos (x3) d x

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais usando o método de integração por partes. A gente vai precisar saber como aplicar essa técnica e usar algumas fórmulas básicas de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos um produto de duas funções e queremos integrar isso. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

No nosso caso, temos u = x e dv = cos(x3) dx multiplicado por . Vamos escolher:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar du = dx e v = integral cos(x3) dx .
Calculando v = integral cos(t) cdot 3 dt = 3 sin(t) + C = 3 sin(x3) + C :
Agora, vamos integrar para achar :
Para integrar , fazemos uma substituição. Seja , então , ou seja, . Assim:
Desconsideramos a constante de integração nesse passo.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cos(x3) dx = x cdot 3 sin(x3) - integral 3 sin(x3) dx

Passo 6

Agora, precisamos resolver a segunda integral:
integral 3 sin(x3) dx
Novamente, usamos substituição. Seja integral 3 sin(t) cdot 3 dt = 9 integral sin(t) dt = -9 cos(t) + C = -9 cos(x3) + C , então , ou seja, :

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
integral x cos(x3) dx = 3x sin(x3) - ( -9 cos(x3) ) + C
Simplificando os sinais:
= 3x sin(x3) + 9 cos(x3) + C

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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