(k)
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a integral
. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais usando o método de integração por partes. A gente vai precisar saber como aplicar essa técnica e usar algumas fórmulas básicas de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos um produto de duas funções e queremos integrar isso. A fórmula básica é:
Aqui, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral será
e qual será
.
Passo 3
No nosso caso, temos
multiplicado por
. Vamos escolher:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
e
.
Calculando
:
Agora, vamos integrar
para achar
:
Para integrar
, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
. Assim:
Desconsideramos a constante de integração
nesse passo.
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a segunda integral:
Novamente, usamos substituição. Seja
, então
, ou seja,
:
Passo 7
Voltando à expressão anterior:
Simplificando os sinais:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
(e) Escolhendo
, qual deve ser a escolha para
? Calcule
e
e substitua na fórmula de integração por partes.
(a) Escolhendo
, qual deve ser a escolha para
?
Determine as equações paramétricas que correspondem às equações dadas.
10.
10.
Calcule
, onde
está delimitado pelos planos
e
pelos cilindros
e