(k)

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais usando o método de integração por partes. A gente vai precisar saber como aplicar essa técnica e usar algumas fórmulas básicas de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica que usamos quando temos um produto de duas funções e queremos integrar isso. A fórmula básica é:
Aqui, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral será e qual será .

Passo 3

No nosso caso, temos multiplicado por . Vamos escolher:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar e .
Calculando :
Agora, vamos integrar para achar :
Para integrar , fazemos uma substituição. Seja , então , ou seja, . Assim:
Desconsideramos a constante de integração nesse passo.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a segunda integral:
Novamente, usamos substituição. Seja , então , ou seja, :

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
Simplificando os sinais:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

(e) Escolhendo , qual deve ser a escolha para ? Calcule e e substitua na fórmula de integração por partes.
(a) Escolhendo , qual deve ser a escolha para ?
Determine as equações paramétricas que correspondem às equações dadas.
10.
Calcule , onde está delimitado pelos planos e pelos cilindros e