Calcule a integral
, onde
é o sólido limitado pelos planos
e
e pelos cilindros
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral tripla
, onde
é o sólido delimitado pelos planos
e
, e pelos cilindros
e
.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas, especialmente em coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar: Saber mudar para coordenadas cilíndricas, entender os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Ela serve para calcular o volume de uma função em um espaço tridimensional. No nosso caso, queremos integrar a função
sobre o sólido
.
Passo 3
Como os limites de
envolvem cilindros, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, a gente tem:
E o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é:
Passo 4
Agora, vamos identificar os limites de integração:
- Para
: Os cilindros e correspondem a e , respectivamente.
- Para
: Como os cilindros são circulares e simétricos, varia de a .
- Para
: Entre e . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Passo 5
Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A função a ser integrada
em coordenadas cilíndricas é
. Então, a integral fica:
Simplificando:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
. A integral de
em relação a
de
a
é:
Então, a integral passa a ser:
Passo 7
Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos separar a integral em três partes:
Passo 9
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Sabemos que:
E:
Portanto, a primeira integral é:
Segunda Integral:
Sabemos que:
Portanto, a segunda integral é
.
Terceira Integral:
Sabemos que:
Portanto, a terceira integral também é
.
Passo 10
Somando as três integrais:
Resposta
A integral tripla
é igual a
.
Exercícios relacionados
A integral dupla
é uma integral imprópria e pode ser definida como o limite da integral dupla sobre o retângulo
quando
. Mas, se expandirmos o integrando como uma série geométrica, podemos exprimir a integral como a soma de uma série infinita. Mostre que
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
d) O sólido limitado pelo cilindro pelos planos
.
d) O sólido limitado pelo cilindro
Considere a função
dada por
Mostre que
é contínua em 0 .
Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.