Calcule a integral integral triplaE x d V, onde E é o sólido limitado pelos planos z=0 e z=x+y+5 e pelos cilindros x^2+y^2=4 e x^2+y^2=8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral tripla , onde é o sólido delimitado pelos planos e , e pelos cilindros e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais múltiplas, especialmente em coordenadas cilíndricas.
O que vamos precisar: Saber mudar para coordenadas cilíndricas, entender os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral tripla. Ela serve para calcular o volume de uma função em um espaço tridimensional. No nosso caso, queremos integrar a função sobre o sólido .

Passo 3

Como os limites de x = r costheta, y = r sintheta, z = z envolvem cilindros, é mais fácil trabalhar em coordenadas cilíndricas. Nessas coordenadas, a gente tem:
dV = r , dz , dr , dtheta
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é:

Passo 4

Agora, vamos identificar os limites de integração:
  • Para 2 <= r <= 2raiz2 : Os cilindros 0 <= theta <= 2pi e 0 <= z <= r costheta + r sintheta + 5 correspondem a e , respectivamente.
  • Para : Como os cilindros são circulares e simétricos, varia de a .
  • Para : Entre e . Em coordenadas cilíndricas, isso fica:

Passo 5

Agora, vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas. A função a ser integrada integral triplaE x , dV = integral0^2pi integral2^2raiz2 integral0^r costheta + r sintheta + 5 (r costheta) cdot r , dz , dr , dtheta em coordenadas cilíndricas é integral triplaE x , dV = integral0^2pi integral2^2raiz2 integral0^r costheta + r sintheta + 5 r^2 costheta , dz , dr , dtheta . Então, a integral fica:
Simplificando:

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a integral0^r costheta + r sintheta + 5 r^2 costheta , dz = r^2 costheta cdot (r costheta + r sintheta + 5) . A integral de integral0^2pi integral2^2raiz2 r^2 costheta (r costheta + r sintheta + 5) , dr , dtheta em relação a de a é:
Então, a integral passa a ser:

Passo 7

Agora, vamos expandir a expressão dentro da integral:
r^2 costheta (r costheta + r sintheta + 5) = r^3 cos^2theta + r^3 costheta sintheta + 5r^2 costheta
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral2^2raiz2 ( r^3 cos^2theta + r^3 costheta sintheta + 5r^2 costheta ) , dr , dtheta

Passo 8

Vamos separar a integral em três partes:
integral0^2pi integral2^2raiz2 r^3 cos^2theta , dr , dtheta + integral0^2pi integral2^2raiz2 r^3 costheta sintheta , dr , dtheta + integral0^2pi integral2^2raiz2 5r^2 costheta , dr , dtheta

Passo 9

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta cdot integral2^2raiz2 r^3 , dr
Sabemos que:
integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi
E:
integral2^2raiz2 r^3 , dr = [ r^44 ]2^2raiz2 = (2raiz2)^4 - 2^44 = 32 - 164 = 4
Portanto, a primeira integral é:
pi cdot 4 = 4pi
Segunda Integral:
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta cdot integral2^2raiz2 r^3 , dr
Sabemos que:
integral0^2pi costheta sintheta , dtheta = 0
Portanto, a segunda integral é 5 integral0^2pi costheta , dtheta cdot integral2^2raiz2 r^2 , dr .
Terceira Integral:
integral0^2pi costheta , dtheta = 0
Sabemos que:
Portanto, a terceira integral também é .

Passo 10

Somando as três integrais:
4pi + 0 + 0 = 4pi

Resposta

A integral tripla é igual a .

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