Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos mostrar que a transformada de Laplace de
é igual à integral de
de
até
, onde
é a transformada de Laplace de
. Além disso, devemos calcular a transformada de Laplace de
, onde
é um número real. Para isso, vamos utilizar conceitos básicos da transformada de Laplace e propriedades das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa. Nossa meta é encontrar
.
Passo 3
Para encontrar
, vamos usar uma propriedade da transformada de Laplace que relaciona a divisão por
na função original com a integração da transformada:
Essa propriedade pode ser derivada usando a definição da transformada de Laplace e uma troca de ordem de integração.
Passo 4
Agora, vamos demonstrar essa propriedade. Começamos pela definição da transformada de Laplace de
:
Fazendo uma substituição
, obtemos uma expressão que envolve a integral de
, chegando assim à igualdade proposta:
Passo 5
Com a propriedade demonstrada, agora vamos aplicar isso para calcular
. Primeiro, precisamos encontrar a transformada de Laplace de
:
Portanto,
Passo 6
Agora, aplicando a propriedade que mostramos, temos:
Vamos resolver essa integral separadamente.
Passo 7
Primeiro, resolvemos
. Fazendo a substituição
, temos:
Em seguida, resolvemos
.
Passo 8
Substituindo os limites de integração de
a
, obtemos:
Ao avaliar o limite superior, notamos que
tende a
. Avaliando no limite inferior
:
Simplificando:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
Mostre que
é contínua em 0 .
Calcule a integral
, onde
é o sólido limitado pelos planos
e
e pelos cilindros
e
.
Mostre que
(Ninguém jamais foi capaz de determinar o valor exato da soma dessa série.)
Determine se as seguintes funções são contínuas:
, dada por