Mostre que Lf(t)t=integrals^+infty F(u) d u e calcule as transformadas de Laplace. Lcos (a t)-1t, a in R

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos mostrar que a transformada de Laplace de é igual à integral de de até , onde é a transformada de Laplace de . Além disso, devemos calcular a transformada de Laplace de , onde é um número real. Para isso, vamos utilizar conceitos básicos da transformada de Laplace e propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função Lf(t) = F(s) = integral0^+infty e^-s t f(t) , dt é dada por:
Aqui, é uma variável complexa. Nossa meta é encontrar .

Passo 3

Para encontrar Lf(t)t = integrals^+infty F(u) , du , vamos usar uma propriedade da transformada de Laplace que relaciona a divisão por na função original com a integração da transformada:
Essa propriedade pode ser derivada usando a definição da transformada de Laplace e uma troca de ordem de integração.

Passo 4

Agora, vamos demonstrar essa propriedade. Começamos pela definição da transformada de Laplace de Lf(t)t = integral0^+infty e^-s t f(t)t , dt :
Lf(t)t = integrals^+infty F(u) , du
Fazendo uma substituição , obtemos uma expressão que envolve a integral de , chegando assim à igualdade proposta:

Passo 5

Com a propriedade demonstrada, agora vamos aplicar isso para calcular Lcos(a t) = ss^2 + a^2, L1 = 1s . Primeiro, precisamos encontrar a transformada de Laplace de F(s) = Lcos(a t) - 1 = ss^2 + a^2 - 1s :
Portanto,

Passo 6

Agora, aplicando a propriedade que mostramos, temos:
Lcos(a t) - 1t = integrals^+infty ( uu^2 + a^2 - 1u ) du
Vamos resolver essa integral separadamente.

Passo 7

Primeiro, resolvemos integral uu^2 + a^2 du = 12 ln(u^2 + a^2) + C . Fazendo a substituição , temos:
Em seguida, resolvemos .

Passo 8

Substituindo os limites de integração de Lcos(a t) - 1t = [ 12 ln(u^2 + a^2) - ln(u) ]s^+infty a = 0 - ( 12 ln(s^2 + a^2) - ln(s) ) = ln(s) - 12 ln(s^2 + a^2) , obtemos:
= ln( sraizs^2 + a^2 )
Ao avaliar o limite superior, notamos que tende a . Avaliando no limite inferior :
Simplificando:

Resposta

A transformada de Laplace de Lcos(a t) - 1t = ln( sraizs^2 + a^2 ) é:

Exercícios relacionados

Considere a função f: R -> R dada por
f(x) = { x, se x em Q; -x, se x não em Q }
Mostre que f é contínua em 0 .
Calcule a integral integral triplaE x d V, onde E é o sólido limitado pelos planos z=0 e z=x+y+5 e pelos cilindros x^2+y^2=4 e x^2+y^2=8.
Mostre que
integral0^1 integral0^1 integral0^1 11-x y z d x d y d z=sumn=1^infty 1n^3
(Ninguém jamais foi capaz de determinar o valor exato da soma dessa série.)
Determine se as seguintes funções são contínuas: g: R -> R, dada por g(x) = { sen(3x) / (3x) , se x ≠ 0; 1 , se x = 0 }