Considere a função
dada por
Mostre que
é contínua em 0 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
que depende se
é racional ou irracional. A gente precisa mostrar que essa função é contínua no ponto 0. Isso envolve entender o conceito de continuidade e como os limites funcionam, especialmente quando lidamos com números racionais e irracionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função
é contínua em 0 se o limite de
quando
se aproxima de 0 for igual a
. Ou seja:
Vamos calcular esse limite.
Passo 3
Sabemos que 0 é um número racional, então:
Agora, precisamos verificar o limite de
quando
se aproxima de 0, considerando as duas possibilidades:
ser racional ou irracional.
Passo 4
Se
for racional,
. Então, quando
se aproxima de 0 por números racionais:
Passo 5
Se
for irracional,
. Então, quando
se aproxima de 0 por números irracionais:
Passo 6
Como os limites pelas duas sequências (racionais e irracionais) são iguais e ambos chegam a 0, podemos afirmar que:
Passo 7
Comparando com
:
Isso confirma que a função
é contínua em 0.
Resposta
A função
é contínua em 0 porque o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a
, ou seja, ambos são iguais a 0.
Exercícios relacionados
Calcule a integral
, onde
é o sólido limitado pelos planos
e
e pelos cilindros
e
.
A integral dupla
é uma integral imprópria e pode ser definida como o limite da integral dupla sobre o retângulo
quando
. Mas, se expandirmos o integrando como uma série geométrica, podemos exprimir a integral como a soma de uma série infinita. Mostre que
Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Mostre que
(Ninguém jamais foi capaz de determinar o valor exato da soma dessa série.)