Considere a função f: R -> R dada por
f(x) = { x, se x em Q; -x, se x não em Q }
Mostre que f é contínua em 0 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que depende se é racional ou irracional. A gente precisa mostrar que essa função é contínua no ponto 0. Isso envolve entender o conceito de continuidade e como os limites funcionam, especialmente quando lidamos com números racionais e irracionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função é contínua em 0 se o limite de quando se aproxima de 0 for igual a . Ou seja:
Vamos calcular esse limite.

Passo 3

Sabemos que 0 é um número racional, então:
Agora, precisamos verificar o limite de quando se aproxima de 0, considerando as duas possibilidades: ser racional ou irracional.

Passo 4

Se for racional, . Então, quando se aproxima de 0 por números racionais:

Passo 5

Se for irracional, . Então, quando se aproxima de 0 por números irracionais:

Passo 6

Como os limites pelas duas sequências (racionais e irracionais) são iguais e ambos chegam a 0, podemos afirmar que:

Passo 7

Comparando com :
Isso confirma que a função é contínua em 0.

Resposta

A função é contínua em 0 porque o limite de quando se aproxima de 0 é igual a , ou seja, ambos são iguais a 0.

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