A integral dupla integral0^1 integral0^1 11-x y d x d y é uma integral imprópria e pode ser definida como o limite da integral dupla sobre o retângulo [0, t] times[0, t] quando t 1^-. Mas, se expandirmos o integrando como uma série geométrica, podemos exprimir a integral como a soma de uma série infinita. Mostre que
integral0^1 integral0^1 11-x y d x d y=sumn=1^infty 1n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla que envolve uma função complicada: . O objetivo é mostrar que essa integral pode ser escrita como uma soma infinita de termos . Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas e manipular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função 11 - xy = sumn=0^infty (xy)^n pode ser expandida como uma série geométrica. A série geométrica é uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos, e é válida quando o valor absoluto da razão é menor que 1. Então, temos:
Isso vale para , o que está garantido no nosso caso porque e variam de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa série dentro da integral dupla. Isso nos dá:
integral0^1 integral0^1 11 - xy , dx , dy = integral0^1 integral0^1 sumn=0^infty (xy)^n , dx , dy
Aí, a gente pode trocar a ordem da soma com a integral, desde que a série converja uniformemente, o que acontece aqui:
= sumn=0^infty integral0^1 integral0^1 (xy)^n , dx , dy

Passo 4

Vamos resolver as integrais internas agora. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 x^n y^n , dx = y^n integral0^1 x^n , dx = y^n [ x^n+1n+1 ]0^1 = y^nn+1 :
integral0^1 y^nn+1 , dy = 1n+1 integral0^1 y^n , dy = 1n+1 [ y^n+1n+1 ]0^1 = 1(n+1)^2
Depois, integramos em relação a :

Passo 5

Então, cada termo da nossa série fica sumn=0^infty 1(n+1)^2 = summ=1^infty 1m^2 . Podemos mudar o índice da soma para facilitar:
Aqui, , então a soma começa de .

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral0^1 integral0^1 11 - xy , dx , dy = sumn=1^infty 1n^2

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