A integral dupla
é uma integral imprópria e pode ser definida como o limite da integral dupla sobre o retângulo
quando
. Mas, se expandirmos o integrando como uma série geométrica, podemos exprimir a integral como a soma de uma série infinita. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla que envolve uma função complicada:
. O objetivo é mostrar que essa integral pode ser escrita como uma soma infinita de termos
. Para isso, vamos usar o conceito de séries geométricas e manipular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser expandida como uma série geométrica. A série geométrica é uma forma de escrever uma função como uma soma infinita de termos, e é válida quando o valor absoluto da razão é menor que 1. Então, temos:
Isso vale para
, o que está garantido no nosso caso porque
e
variam de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa série dentro da integral dupla. Isso nos dá:
Aí, a gente pode trocar a ordem da soma com a integral, desde que a série converja uniformemente, o que acontece aqui:
Passo 4
Vamos resolver as integrais internas agora. Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
:
Passo 5
Então, cada termo da nossa série fica
. Podemos mudar o índice da soma para facilitar:
Aqui,
, então a soma começa de
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
d) O sólido limitado pelo cilindro pelos planos
.
d) O sólido limitado pelo cilindro
Use o primeiro limite fundamental para calcular os seguintes limites:
Calcule a integral
, onde
é o sólido limitado pelos planos
e
e pelos cilindros
e
.
Considere a função
dada por
Mostre que
é contínua em 0 .