Calcule
, onde
é o sólido que está no primeiro octante, entre as esferas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla
, onde
é o sólido no primeiro octante que está entre as esferas
e
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente coordenadas esféricas, para resolver isso. Precisaremos entender como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e estabelecer os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores:
(a distância do ponto à origem),
(o ângulo com o eixo
) e
(o ângulo no plano
). As conversões são:
Além disso, o elemento de volume
em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, temos que
,
e
. Isso significa que:
Os limites para
são definidos pelas esferas dadas no enunciado. A esfera interna tem raio 1 e a externa tem raio 3, já que:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos substituir tudo na integral tripla. Sabemos que
, então:
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a
. Observe que:
Então,
Passo 7
Agora, a integral fica:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
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Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
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em cada item abaixo:
.