Calcule integral triplaE z d V, onde E é o sólido que está no primeiro octante, entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla , onde é o sólido no primeiro octante que está entre as esferas e . Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente coordenadas esféricas, para resolver isso. Precisaremos entender como converter as coordenadas cartesianas para esféricas e estabelecer os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três valores: x = rho sin phi cos theta (a distância do ponto à origem), y = rho sin phi sin theta (o ângulo com o eixo z = rho cos phi ) e dV = rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta (o ângulo no plano ). As conversões são:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, temos que 0 <= theta <= pi2 , 0 <= phi <= pi2 e rho = 1 e rho = 3 . Isso significa que:
Os limites para são definidos pelas esferas dadas no enunciado. A esfera interna tem raio 1 e a externa tem raio 3, já que:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos substituir tudo na integral tripla. Sabemos que integral triplaE z , dV = integral triplaE rho cos phi cdot rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta = integral triplaE rho^3 sin phi cos phi , drho , dphi , dtheta , então:
integral0^pi2 integral0^pi2 integral1^3 rho^3 sin phi cos phi , drho , dphi , dtheta
Então, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos começar integrando em relação a integral1^3 rho^3 , drho = [ rho^44 ]1^3 = 3^44 - 1^44 = 814 - 14 = 804 = 20 :

Passo 6

Agora, a integral fica:
20 integral0^pi2 integral0^pi2 sin phi cos phi , dphi , dtheta
Vamos integrar em relação a sin phi cos phi = 12 sin(2phi) . Observe que:
integral0^pi2 sin phi cos phi , dphi = 12 integral0^pi2 sin(2phi) , dphi = 12 [ -cos(2phi)2 ]0^pi2 = 14 [ -cos(pi) + cos(0) ] = 14 (1 + 1) = 12
Então,

Passo 7

Agora, a integral fica:
20 times 12 integral0^pi2 dtheta = 10 integral0^pi2 dtheta = 10 [ theta ]0^pi2 = 10 times pi2 = 5pi

Resposta

O valor da integral tripla é .

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