Esboce a região de integração R e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre R em cada item abaixo: integral duplaR(x^2+y^2) d A, com R=(r, theta): 0 <= r <= 4,0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar a região de integração e calcular uma integral dupla sobre essa região usando coordenadas polares. A integral que vamos calcular é , onde é definido por e . Então, vamos usar coordenadas polares e algumas fórmulas básicas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Em coordenadas polares, representa a distância ao origem e é o ângulo em relação ao eixo positivo . Como varia de 0 a 4 e varia de 0 a , a região é um círculo completo de raio 4 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares, e , então . Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por .

Passo 4

Substituindo esses valores na integral, temos:
integral duplaR (x^2 + y^2) , dA = integral0^2pi integral0^4 r^2 cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^4 r^3 , dr , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é com relação a integral0^4 r^3 , dr = [ r^44 ]0^4 = 4^44 - 0^44 = 2564 = 64 :

Passo 6

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^2pi 64 , dtheta = 64 cdot [ theta ]0^2pi = 64 cdot (2pi - 0) = 128pi

Resposta

A integral dupla vale .

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