Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa esboçar a região de integração
e calcular uma integral dupla sobre essa região usando coordenadas polares. A integral que vamos calcular é
, onde
é definido por
e
. Então, vamos usar coordenadas polares e algumas fórmulas básicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Em coordenadas polares,
representa a distância ao origem e
é o ângulo em relação ao eixo positivo
. Como
varia de 0 a 4 e
varia de 0 a
, a região
é um círculo completo de raio 4 centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. Sabemos que em coordenadas polares,
e
, então
. Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por
.
Passo 4
Substituindo esses valores na integral, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é com relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone
e acima de
.
Calcule
, onde
é o sólido que está no primeiro octante, entre as esferas
e
.
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.