Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais: integral0^4 integral0^raiz16-x^2 arctg(yx) d y d x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde varia de 0 a 4 e varia de 0 a . A função que vamos integrar é . O conteúdo que vamos usar aqui é a mudança para coordenadas polares, que facilita a integração em regiões circulares ou partes delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A desigualdade descreve a parte superior de um círculo com raio 4 no primeiro quadrante (já que e são positivos). Em coordenadas polares, usamos e .

Passo 3

Vamos converter os limites de integração para coordenadas polares. O raio varia de 0 a 4 (o raio do círculo). O ângulo varia de 0 a porque estamos no primeiro quadrante. A função em coordenadas polares se torna .

Passo 4

A integral em coordenadas polares inclui o fator integral0^pi2 integral0^4 theta cdot r , dr , dtheta (o jacobiano da transformação). Portanto, a integral fica:
integral0^4 theta r , dr = theta [ r^22 ]0^4 = theta cdot 162 = 8theta
Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^pi2 8theta , dtheta = 8 [ theta^22 ]0^pi2 = 8 cdot pi^28 = pi^2 :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O valor da integral é .

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