Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla onde
varia de 0 a 4 e
varia de 0 a
. A função que vamos integrar é
. O conteúdo que vamos usar aqui é a mudança para coordenadas polares, que facilita a integração em regiões circulares ou partes delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A desigualdade
descreve a parte superior de um círculo com raio 4 no primeiro quadrante (já que
e
são positivos). Em coordenadas polares, usamos
e
.
Passo 3
Vamos converter os limites de integração para coordenadas polares. O raio
varia de 0 a 4 (o raio do círculo). O ângulo
varia de 0 a
porque estamos no primeiro quadrante. A função
em coordenadas polares se torna
.
Passo 4
A integral em coordenadas polares inclui o fator
(o jacobiano da transformação). Portanto, a integral fica:
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Determine o volume do sólido que está abaixo do semi-cone
e acima de
.
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Esboce a região de integração
e calcule usando coordenadas polares a integral dupla sobre
em cada item abaixo:
, com
.
Calcule
, onde
é o sólido que está no primeiro octante, entre as esferas
e
.