Exerácios

  1. Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
    a) f(x, y) = x^2 + 4*y^2 - x + 2*y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde todas as derivadas parciais da função iguais a zero.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é .

Passo 5

Para determinar a natureza desse ponto crítico (se é máximo, mínimo ou ponto de sela), usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas parciais segunda:

Passo 6

Calculamos o discriminante :
Como e , isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

A função possui um único extremo local, que é um mínimo no ponto . Não há pontos de sela para essa função.

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