Exerácios
- Ache os extremos locais e os pontos de sela de f:
a)
a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os extremos locais e os pontos de sela da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e análise de pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde todas as derivadas parciais da função iguais a zero.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Igualamos as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 5
Para determinar a natureza desse ponto crítico (se é máximo, mínimo ou ponto de sela), usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas parciais segunda:
Passo 6
Calculamos o discriminante
:
Como
e
, isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
A função
possui um único extremo local, que é um mínimo no ponto
. Não há pontos de sela para essa função.
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d)
Calcule
onde
é o tetraedro delimitado pelos planos:
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e)
Exerácios
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i)