Calcule os seguintes limites: lim x 0((a+x)^3-a^3x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma expressão quando se aproxima de 0. Estamos lidando com limites, um conceito fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (a + x)^3 = a^3 + 3a^2x + 3ax^2 + x^3 . Isso significa multiplicar por si mesmo três vezes. Usando a fórmula do binômio de Newton, temos:

Passo 3

Agora, vamos subtrair (a + x)^3 - a^3 = 3a^2x + 3ax^2 + x^3 dessa expressão:

Passo 4

A próxima etapa é dividir tudo por (a + x)^3 - a^3x = 3a^2x + 3ax^2 + x^3x = 3a^2 + 3ax + x^2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando limx to 0 (3a^2 + 3ax + x^2) = 3a^2 + 0 + 0 = 3a^2 tende a 0. Substituindo :

Resposta

O limite é .

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