Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função
e descobrir a série de Fourier dela. A função é periódica com período 2 e está definida de forma diferente em cada intervalo de
e
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como elas representam funções periódicas usando senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função
. A função é definida por partes:
- Para
: - Para
:
Isso significa que, de
a
, a função aumenta linearmente de
a
, e de
a
, ela diminui de
a
.
Passo 3
Vamos plotar essas duas partes:
- De
a : começa em e vai até - De
a : começa em e vai até
Como a função é periódica com período 2, esse padrão se repete a cada intervalo de 2 unidades no eixo
.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre a Série de Fourier. Basicamente, ela permite representar funções periódicas como uma soma de funções seno e cosseno. Para uma função com período
, a série de Fourier geral será:
Aqui,
é o termo constante,
são os coeficientes dos cossenos e
são os coeficientes dos senos.
Passo 5
Vamos calcular os coeficientes. Primeiro, o
:
Substituindo
pelas partes definidas:
Calculando as integrais:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular os
:
Devido à simetria da função,
é uma função par, então os termos de
vão ser zero. Vamos focar nos
.
Passo 7
Calculando
:
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes, mas para simplificar, podemos reconhecer que devido à simetria, alguns termos irão se cancelar ou simplificar.
Passo 8
Após resolver as integrais, os coeficientes
ficam:
Isso significa que apenas os termos ímpares de
contribuirão, já que para
par,
.
Passo 9
Finalmente, como os termos
são zero, a Série de Fourier da função
é:
Resposta
A série de Fourier da função
é:
Exercícios relacionados
Encontre uma representação em série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.
Encontre uma representação em série de potências para a função
e determine o seu intervalo de convergência.
Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com
Calcule a integral
onde E é a região delimitada pelo paraboloide
e pelo plano
.