Esboce o gráfico e determine as séries de fourier das seguintes funções.
, com

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da função e descobrir a série de Fourier dela. A função é periódica com período 2 e está definida de forma diferente em cada intervalo de e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Fourier e como elas representam funções periódicas usando senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função . A função é definida por partes:
  • Para :
  • Para :
Isso significa que, de a , a função aumenta linearmente de a , e de a , ela diminui de a .

Passo 3

Vamos plotar essas duas partes:
  • De a : começa em e vai até
  • De a : começa em e vai até
Como a função é periódica com período 2, esse padrão se repete a cada intervalo de 2 unidades no eixo .

Passo 4

Agora, vamos falar sobre a Série de Fourier. Basicamente, ela permite representar funções periódicas como uma soma de funções seno e cosseno. Para uma função com período , a série de Fourier geral será:
Aqui, é o termo constante, são os coeficientes dos cossenos e são os coeficientes dos senos.

Passo 5

Vamos calcular os coeficientes. Primeiro, o :
Substituindo pelas partes definidas:
Calculando as integrais:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular os :
Devido à simetria da função, é uma função par, então os termos de vão ser zero. Vamos focar nos .

Passo 7

Calculando :
Essas integrais podem ser resolvidas usando integração por partes, mas para simplificar, podemos reconhecer que devido à simetria, alguns termos irão se cancelar ou simplificar.

Passo 8

Após resolver as integrais, os coeficientes ficam:
Isso significa que apenas os termos ímpares de contribuirão, já que para par, .

Passo 9

Finalmente, como os termos são zero, a Série de Fourier da função é:

Resposta

A série de Fourier da função é:

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, com
Calcule a integral
onde E é a região delimitada pelo paraboloide e pelo plano .