Encontre a solução do P.V.I. dado:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial (P.V.I.) que envolve uma equação diferencial. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que temos:
Nosso objetivo é separar os termos de e para conseguir colocar a equação em uma forma padrão que possamos resolver.

Passo 3

Vamos isolar :
Então, a equação fica:
Essa é uma equação diferencial linear da forma , onde e .

Passo 4

Para resolver uma equação linear, usamos o fator integrante, que é dado por:
Vamos calcular o fator integrante:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :

Passo 8

Usamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A solução do P.V.I. é:

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Mostre que , quando .
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Mostre que , quando .
A equação diferencial para a velocidade de uma massa em queda sujeita à resistencia do ar proporcional à velocidade instantânea é
(a) Resolva a equação sujeita à condição inicial .
Calcule
onde é a região limitada pelo paraboloide e pelo plano .