Calcule , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre o sólido , que está no primeiro octante e abaixo do paraboloide . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando a região de integração tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, as coordenadas , e são todas positivas (, , ). O paraboloide nos dá o teto do sólido, então para cada ponto , varia de até .
Passo 3
Vamos mudar para coordenadas polares para simplificar a integração. Lembrando que:
O volume diferencial em coordenadas polares é .
Passo 4
Agora, vamos expressar a integral tripla em coordenadas polares:
Aqui, varia de a porque implica , então . O ângulo varia de a para cobrir o primeiro octante.