Calcule , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre o sólido , que está no primeiro octante e abaixo do paraboloide . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando a região de integração tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, as coordenadas , e são todas positivas ( , , ). O paraboloide nos dá o teto do sólido, então para cada ponto , varia de até .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares para simplificar a integração. Lembrando que:
O volume diferencial em coordenadas polares é .

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral tripla em coordenadas polares:
Aqui, varia de a porque implica , então . O ângulo varia de a para cobrir o primeiro octante.

Passo 5

Vamos integrar em relação a primeiro:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Agora, vamos calcular a integral em :
Substituindo de volta:

Passo 6

Vamos resolver as integrais em :
  1. Para :
  1. Para :
Somando as duas integrais:

Resposta

A integral tripla vale .

Exercícios relacionados

Calcule , onde (a) é o segmento de reta de e (b) é o arco de parábola de .
Expresse a integral como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.
Calcule , onde é a hélice circular dada pelas equações .
Calcule , onde C consiste no segmento de reta que une a seguido pelo segmento de reta de a .