Calcule integral triplaE(x^2+x y) d V, onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide z=1-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre o sólido , que está no primeiro octante e abaixo do paraboloide . Para isso, vamos usar coordenadas polares, que facilitam bastante quando a região de integração tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, as coordenadas , e são todas positivas ( , , ). O paraboloide nos dá o teto do sólido, então para cada ponto , varia de até .

Passo 3

Vamos mudar para coordenadas polares para simplificar a integração. Lembrando que:
x = r costheta y = r sintheta
O volume diferencial em coordenadas polares é .

Passo 4

Agora, vamos expressar a integral tripla em coordenadas polares:
integral triplaE (x^2 + xy) , dV = integral0^pi2 integral0^1 integral0^1 - r^2 ( r^2cos^2theta + r^2costhetasintheta ) r , dz , dr , dtheta
Aqui, varia de a porque implica , então . O ângulo varia de a para cobrir o primeiro octante.

Passo 5

Vamos integrar em relação a integral0^1 - r^2 dz = 1 - r^2 primeiro:
integral0^pi2 integral0^1 (1 - r^2) cdot r^3 (cos^2theta + costhetasintheta) , dr , dtheta
Então, a integral fica:
integral0^pi2 (cos^2theta + costhetasintheta) ( integral0^1 (r^3 - r^5) , dr ) dtheta
Simplificando:
integral0^1 (r^3 - r^5) , dr = [ r^44 - r^66 ]0^1 = 14 - 16 = 112
Agora, vamos calcular a integral em 112 integral0^pi2 (cos^2theta + costhetasintheta) , dtheta :
Substituindo de volta:

Passo 6

Vamos resolver as integrais em integral cos^2theta , dtheta = theta2 + sin(2theta)4 gr|0^pi2 = pi4 :
  1. Para integral costhetasintheta , dtheta = sin^2theta2 gr|0^pi2 = 12 :
pi4 + 12 = pi + 24
  1. Para :
Somando as duas integrais:

Resposta

A integral tripla vale .

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