Expresse a integral
como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a integral tripla dada em coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e depois calcular o valor dessa integral. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas e mudança de coordenadas. Vamos precisar entender como fazer essa conversão e usar o fator de correção (Jacobeano) na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na região onde vamos integrar. Temos:
-
varia de 0 a 2 -
varia de 0 a -
varia de 0 a 6
Isso significa que no plano
, estamos integrando sobre uma parte do círculo
, especificamente no primeiro quadrante onde
e
são positivos.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. As relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Vamos reescrever os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
- O raio
vai de 0 a 2 (já que implica ). - O ângulo
vai de 0 a (primeiro quadrante). - O
continua variando de 0 a 6.
Passo 5
A função que estamos integrando é
. Em coordenadas cilíndricas, isso vira simplesmente
. Então, a integral original fica assim:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em
:
Passo 8
Por fim, integramos em
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido S limitado pelo parabolóide
) e o plano
.
Calcule
, onde (a)
é o segmento de reta de
e (b)
é o arco de parábola
de
.
Calcule
, onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide
.