Expresse a integral como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente transformar a integral tripla dada em coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas e depois calcular o valor dessa integral. A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais múltiplas e mudança de coordenadas. Vamos precisar entender como fazer essa conversão e usar o fator de correção (Jacobeano) na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na região onde vamos integrar. Temos:
  • varia de 0 a 2
  • varia de 0 a
  • varia de 0 a 6
Isso significa que no plano , estamos integrando sobre uma parte do círculo , especificamente no primeiro quadrante onde e são positivos.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. As relações entre coordenadas cartesianas e cilíndricas são:
O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos reescrever os limites de integração em coordenadas cilíndricas:
  • O raio vai de 0 a 2 (já que implica ).
  • O ângulo vai de 0 a (primeiro quadrante).
  • O continua variando de 0 a 6.

Passo 5

A função que estamos integrando é . Em coordenadas cilíndricas, isso vira simplesmente . Então, a integral original fica assim:

Passo 6

Vamos resolver a integral em primeiro:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Agora, integramos em :

Passo 8

Por fim, integramos em :

Resposta

O valor da integral é .

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.
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