Calcule , onde (a) é o segmento de reta de e (b) é o arco de parábola de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha em dois casos diferentes de curva . Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das Integrais de Linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as curvas e aplicar as fórmulas de integrais de linha.
Passo 2
Caso (a): Curva - Segmento de reta de a
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta. Para isso, usamos um parâmetro que varia de 0 a 1.
Parametrização da reta:
Aqui, quando , temos o ponto inicial e quando , chegamos ao ponto final .
Cálculo das derivadas:
Substituindo na integral:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 4
Integramos termo a termo:
Somando tudo:
Passo 5
Caso (b): Curva - Arco da parábola de a
Para parametrizar essa curva, vamos usar como parâmetro.
Parametrização da parábola:
Cálculo das derivadas:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, integramos cada termo:
Somando tudo:
Resposta
(a) A integral ao longo do segmento de reta é aproximadamente .
(b) A integral ao longo do arco da parábola é aproximadamente .