Calcule integralC y^2 d x+x d y, onde (a) C=C1 é o segmento de reta de (-5,-3) a(0,2) e (b) C=C2 é o arco de parábola x=4-y^2 de (-5,-3) a(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha integralC y^2 dx + x dy em dois casos diferentes de curva C. Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das Integrais de Linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as curvas e aplicar as fórmulas de integrais de linha.

Passo 2

Caso (a): Curva C1 - Segmento de reta de (-5,-3) a (0,2)

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta. Para isso, usamos um parâmetro t que varia de 0 a 1.
  • Parametrização da reta:
    x(t) = -5 + 5t y(t) = -3 + 5t
    Aqui, quando t=0, temos o ponto inicial (-5,-3) e quando t=1, chegamos ao ponto final (0,2).
  • Cálculo das derivadas:
    dxdt = 5 dydt = 5
  • Substituindo na integral:
    integralC1 y^2 dx + x dy = integral0^1 [ ( -3 + 5t )^2 cdot 5 + ( -5 + 5t ) cdot 5 ] dt

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(-3 + 5t)^2 = 9 - 30t + 25t^2
Então:
integral0^1 [ (9 - 30t + 25t^2) cdot 5 + (-5 + 5t) cdot 5 ] dt = integral0^1 [ 45 - 150t + 125t^2 -25 +25t ] dt = integral0^1 [ 20 - 125t + 125t^2 ] dt

Passo 4

Integramos termo a termo:
integral0^1 20 dt = 20t gr|0^1 = 20 integral0^1 -125t dt = -1252t^2 gr|0^1 = -62.5 integral0^1 125t^2 dt = 1253t^3 gr|0^1 approx 41.6667
Somando tudo:
20 - 62.5 + 41.6667 = -0.8333

Passo 5

Caso (b): Curva C2 - Arco da parábola x = 4 - y^2 de (-5,-3) a (0,2)

Para parametrizar essa curva, vamos usar y como parâmetro.
  • Parametrização da parábola:
    y = y (onde y varia de -3 a 2) x(y) = 4 - y^2
  • Cálculo das derivadas:
    dxdy = -2y
  • Substituindo na integral:
    integralC2 y^2 dx + x dy = integral-3^2 [ y^2 cdot (-2y) + (4 - y^2) cdot 1 ] dy = integral-3^2 [ -2y^3 + 4 - y^2 ] dy

Passo 6

Agora, integramos cada termo:
integral-3^2 -2y^3 dy = -24y^4 gr|-3^2 = -12(16 - 81) = -12(-65) = 32.5 integral-3^2 4 dy = 4y gr|-3^2 = 4(2) - 4(-3) = 8 + 12 = 20 integral-3^2 -y^2 dy = -13y^3 gr|-3^2 = -13(8 - (-27)) = -13(35) approx -11.6667
Somando tudo:
32.5 + 20 - 11.6667 = 40.8333

Resposta

(a) A integral ao longo do segmento de reta C1 é aproximadamente -0.8333.
(b) A integral ao longo do arco da parábola C2 é aproximadamente 40.8333.

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