Calcule , onde (a) é o segmento de reta de e (b) é o arco de parábola de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha em dois casos diferentes de curva . Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das Integrais de Linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as curvas e aplicar as fórmulas de integrais de linha.

Passo 2

Caso (a): Curva - Segmento de reta de a

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta. Para isso, usamos um parâmetro que varia de 0 a 1.
  • Parametrização da reta:
    Aqui, quando , temos o ponto inicial e quando , chegamos ao ponto final .
  • Cálculo das derivadas:
  • Substituindo na integral:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:

Passo 4

Integramos termo a termo:
Somando tudo:

Passo 5

Caso (b): Curva - Arco da parábola de a

Para parametrizar essa curva, vamos usar como parâmetro.
  • Parametrização da parábola:
  • Cálculo das derivadas:
  • Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, integramos cada termo:
Somando tudo:

Resposta

(a) A integral ao longo do segmento de reta é aproximadamente .
(b) A integral ao longo do arco da parábola é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Expresse a integral como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas, e calcule a integral obtida.
Calcule o volume do sólido S limitado pelo parabolóide ) e o plano .
Calcule , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide .
Calcule , onde é a hélice circular dada pelas equações .