Calcule , onde (a) é o segmento de reta de e (b) é o arco de parábola de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha em dois casos diferentes de curva . Esse tipo de integral faz parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente das Integrais de Linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar as curvas e aplicar as fórmulas de integrais de linha.
Passo 2
Caso (a): Curva - Segmento de reta de a
Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta. Para isso, usamos um parâmetro que varia de 0 a 1.
Parametrização da reta:
Aqui, quando , temos o ponto inicial e quando , chegamos ao ponto final .
Cálculo das derivadas:
Substituindo na integral:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então:
Passo 4
Integramos termo a termo:
Somando tudo:
20 - 62.5 + 41.6667 = -0.8333
Passo 5
Caso (b): Curva C2 - Arco da parábola x = 4 - y^2 de (-5,-3) a (0,2)
Para parametrizar essa curva, vamos usar y como parâmetro.
Parametrização da parábola:
y = y (onde y varia de -3 a 2) x(y) = 4 - y^2
Cálculo das derivadas:
dxdy = -2y
Substituindo na integral:
integralC2 y^2 dx + x dy = integral-3^2 [ y^2 cdot (-2y) + (4 - y^2) cdot 1 ] dy = integral-3^2 [ -2y^3 + 4 - y^2 ] dy