Calcule
, onde
é a hélice circular dada pelas equações
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais de linha. A gente precisa calcular a integral
, onde
é uma hélice circular definida pelas equações paramétricas
,
e
, com
variando de
a
. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva
e como expressar a integral em termos do parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma hélice é uma curva tridimensional que pode ser parametrizada usando um parâmetro, no caso,
. Já temos as equações paramétricas:
Isso vai nos ajudar a expressar tudo em termos de
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a função que está dentro da integral, que é
, em termos de
. Substituindo:
Então,
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar
, que é o diferencial de comprimento ao longo da curva. Para uma curva parametrizada por
, temos:
Vamos calcular as derivadas:
Então,
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Lembrando que:
Então,
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide
.
Calcule
, onde (a)
é o segmento de reta de
e (b)
é o arco de parábola
de
.
Calcule
, onde C consiste no segmento de reta
que une
a
seguido pelo segmento de reta
de
a
.
Resolva a equação:
.