Calcule integralc y sen z d s, onde C é a hélice circular dada pelas equações x=cos t, y=sen t, z=t, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais de linha. A gente precisa calcular a integral , onde é uma hélice circular definida pelas equações paramétricas , e , com variando de a . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como expressar a integral em termos do parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma hélice é uma curva tridimensional que pode ser parametrizada usando um parâmetro, no caso, x(t) = cos t, y(t) = sin t, z(t) = t, onde 0 <= t <= 2pi . Já temos as equações paramétricas:
Isso vai nos ajudar a expressar tudo em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos expressar a função que está dentro da integral, que é y = sin t, z = t implies sin z = sin t , em termos de y sin z = sin t cdot sin t = (sin t)^2 . Substituindo:
Então,

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt , que é o diferencial de comprimento ao longo da curva. Para uma curva parametrizada por dxdt = -sin t, dydt = cos t, dzdt = 1 , temos:
ds = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + (1)^2 , dt = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 , dt = raiz1 + 1 , dt = raiz2 , dt
Vamos calcular as derivadas:
Então,

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
integralC y sin z , ds = integral0^2pi (sin t)^2 cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^2pi sin^2 t , dt
Lembrando que:
sin^2 t = 1 - cos(2t)2
Então,
raiz2 integral0^2pi 1 - cos(2t)2 , dt = raiz22 integral0^2pi (1 - cos(2t)) , dt

Passo 6

Vamos calcular a integral:
raiz22 [ integral0^2pi 1 , dt - integral0^2pi cos(2t) , dt ] = raiz22 [ (2pi) - 0 ] = raiz22 cdot 2pi = raiz2 pi

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados