Calcule , onde é a hélice circular dada pelas equações .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve integrais de linha. A gente precisa calcular a integral , onde é uma hélice circular definida pelas equações paramétricas , e , com variando de a . Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e como expressar a integral em termos do parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma hélice é uma curva tridimensional que pode ser parametrizada usando um parâmetro, no caso, . Já temos as equações paramétricas:
Isso vai nos ajudar a expressar tudo em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos expressar a função que está dentro da integral, que é , em termos de . Substituindo:
Então,

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar , que é o diferencial de comprimento ao longo da curva. Para uma curva parametrizada por , temos:
Vamos calcular as derivadas:
Então,

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na integral original:
Lembrando que:
Então,

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule , onde E é o sólido do primeiro octante que está abaixo do parabolóide .
Calcule , onde (a) é o segmento de reta de e (b) é o arco de parábola de .
Calcule , onde C consiste no segmento de reta que une a seguido pelo segmento de reta de a .
Resolva a equação: .