Calcule integral triplaE(x^2+z y) d V, em que E=(x, y, z) mid 0 că x <= 2,-3 <= y că 0,-1 <= z că 1ăăă.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é a região definida por , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a integração tripla e como separar os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é um paralelepípedo que se estende de a , de a , e de a . Isso significa que para cada entre 0 e 2, varia de -3 a 0, e para cada par , varia de -1 a 1.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral tripla separadamente para cada variável. A integração tripla pode ser expressa como:
integral triplaE(x^2 + z y) dV = integral0^2 integral-3^0 integral-1^1 (x^2 + z y) dz , dy , dx

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a integral-1^1 (x^2 + z y) dz = integral-1^1 x^2 dz + integral-1^1 z y dz . A integral interna fica:
integral-1^1 x^2 dz = x^2 cdot (1 - (-1)) = 2x^2
A primeira parte é fácil, já que integral-1^1 z y dz = y cdot [ z^22 ]-1^1 = y cdot ( 12 - 12 ) = 0 �� constante em relação a :
Para a segunda parte, temos:
Então, a integral em simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral em integral0^2 integral-3^0 2x^2 dy , dx na integral dupla:
integral-3^0 2x^2 dy = 2x^2 cdot (0 - (-3)) = 6x^2
Vamos integrar em . Como não depende de , a integral fica:

Passo 6

Por fim, integrando em integral0^2 6x^2 dx = 6 cdot [ x^33 ]0^2 = 6 cdot ( 83 - 0 ) = 16 :

Resposta

O valor da integral tripla é 16.

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