Calcule
, em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde
é a região definida por
,
, e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a integração tripla e como separar os limites de integração para cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é um paralelepípedo que se estende de
a
, de
a
, e de
a
. Isso significa que para cada
entre 0 e 2,
varia de -3 a 0, e para cada par
,
varia de -1 a 1.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral tripla separadamente para cada variável. A integração tripla pode ser expressa como:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. A integral interna fica:
A primeira parte é fácil, já que
�� constante em relação a
:
Para a segunda parte, temos:
Então, a integral em
simplifica para
.
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral em
na integral dupla:
Vamos integrar em
. Como
não depende de
, a integral fica:
Passo 6
Por fim, integrando em
:
Resposta
O valor da integral tripla é 16.
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Calcule
.
Calcule
, em que
é a região formada pelo plano
os planos coordenados.
Calcule
.
Calcule
.