Calcule , em que ăăă.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla , onde é a região definida por , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a integração tripla e como separar os limites de integração para cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é um paralelepípedo que se estende de a , de a , e de a . Isso significa que para cada entre 0 e 2, varia de -3 a 0, e para cada par , varia de -1 a 1.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral tripla separadamente para cada variável. A integração tripla pode ser expressa como:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a . A integral interna fica:
A primeira parte é fácil, já que �� constante em relação a :
Para a segunda parte, temos:
Então, a integral em simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral em na integral dupla:
Vamos integrar em . Como não depende de , a integral fica:

Passo 6

Por fim, integrando em :

Resposta

O valor da integral tripla é 16.

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