Calcule
, em que
é a região formada pelo plano
os planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla
, onde
é a região delimitada pelo plano
e os planos coordenados (os planos
,
e
). Vamos usar cálculo em coordenadas cartesianas para isso, e precisaremos definir os limites de integração para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a região
. O plano
intercepta os eixos coordenados nos pontos onde as outras variáveis são zero:
- Quando
e : - Quando
e : - Quando
e :
Então,
é o tetraedro com vértices nas origens e em
,
, e
.
Passo 3
Vamos definir os limites de integração. É mais fácil integrar na ordem
:
-
varia de 0 a 5. - Para cada
, varia de 0 a , porque quando , a equação do plano resolve para . - Para cada
e , varia de 0 a .
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral tripla com esses limites:
Passo 5
Integramos primeiro em relação a
:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Expandindo dentro da integral em
:
Passo 7
Integramos em relação a
:
Calculando os limites:
Passo 8
Vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta:
Passo 9
Fatoramos
:
Simplificando os coeficientes:
Passo 10
Fatoramos o
e simplificamos:
Passo 11
Calculamos a integral:
Resposta
O valor da integral tripla
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
Determine o volume do sólido contido abaixo do parabolóide circular
e acima do retângulo
.
Calcule
.
Calcule
, em que
.