Calcule , em que é a região formada pelo plano os planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla , onde é a região delimitada pelo plano e os planos coordenados (os planos , e ). Vamos usar cálculo em coordenadas cartesianas para isso, e precisaremos definir os limites de integração para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região . O plano intercepta os eixos coordenados nos pontos onde as outras variáveis são zero:
  • Quando e :
  • Quando e :
  • Quando e :
Então, é o tetraedro com vértices nas origens e em , , e .

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. É mais fácil integrar na ordem :
  1. varia de 0 a 5.
  2. Para cada , varia de 0 a , porque quando , a equação do plano resolve para .
  3. Para cada e , varia de 0 a .

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral tripla com esses limites:

Passo 5

Integramos primeiro em relação a :
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Simplificamos a expressão:
Expandindo dentro da integral em :

Passo 7

Integramos em relação a :
Calculando os limites:

Passo 8

Vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta:

Passo 9

Fatoramos :
Simplificando os coeficientes:

Passo 10

Fatoramos o e simplificamos:

Passo 11

Calculamos a integral:

Resposta

O valor da integral tripla é .

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