Calcule integral triplaS y d V, em que S é a região formada pelo plano 12 x+20 y+15 z=60 e os planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral tripla , onde é a região delimitada pelo plano e os planos coordenados (os planos , e ). Vamos usar cálculo em coordenadas cartesianas para isso, e precisaremos definir os limites de integração para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a região . O plano intercepta os eixos coordenados nos pontos onde as outras variáveis são zero:
  • Quando e :
  • Quando e :
  • Quando e :
Então, é o tetraedro com vértices nas origens e em , , e .

Passo 3

Vamos definir os limites de integração. É mais fácil integrar na ordem :
  1. varia de 0 a 5.
  2. Para cada , varia de 0 a , porque quando , a equação do plano resolve para .
  3. Para cada e , varia de 0 a .

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral tripla com esses limites:
integral triplaS y , dV = integral0^5 integral0^3(5 - x)5 integral0^60 - 12x - 20y15 y , dz , dy , dx

Passo 5

Integramos primeiro em relação a integral0^60 - 12x - 20y15 y , dz = y cdot [ z ]0^60 - 12x - 20y15 = y cdot 60 - 12x - 20y15 :
integral0^5 integral0^3(5 - x)5 y(60 - 12x - 20y)15 , dy , dx
Substituindo de volta na integral:

Passo 6

Simplificamos a expressão:
115 integral0^5 integral0^3(5 - x)5 y(60 - 12x - 20y) , dy , dx
Expandindo dentro da integral em 115 integral0^5 integral0^3(5 - x)5 (60y - 12xy - 20y^2) , dy , dx :

Passo 7

Integramos em relação a 115 integral0^5 [ 60y^22 - 12x y^22 - 20y^33 ]0^3(5 - x)5 , dx :
115 integral0^5 ( 30 ( 3(5 - x)5 )^2 - 6x ( 3(5 - x)5 )^2 - 203 ( 3(5 - x)5 )^3 ) , dx
Calculando os limites:

Passo 8

Vamos simplificar cada termo:
  1. 115 integral0^5 ( 54 (5 - x)^25 - 54x (5 - x)^225 - 36 (5 - x)^325 ) , dx
Substituindo de volta:

Passo 9

Fatoramos 115 integral0^5 (5 - x)^2 ( 545 - 54x25 - 36(5 - x)25 ) , dx :
115 integral0^5 (5 - x)^2 ( 27025 - 54x25 - 180 - 36x25 ) , dx
Simplificando os coeficientes:
115 integral0^5 (5 - x)^2 ( 270 - 54x - 180 + 36x25 ) , dx
115 integral0^5 (5 - x)^2 ( 90 - 18x25 ) , dx

Passo 10

Fatoramos o 18375 integral0^5 (5 - x)^2 (5 - x) , dx = 18375 integral0^5 (5 - x)^3 , dx e simplificamos:

Passo 11

Calculamos a integral:
18375 [ -(5 - x)^44 ]0^5 = 18375 ( 0 - ( -5^44 ) ) = 18375 cdot 6254 = 18 cdot 6251500 = 112501500 = 7,5

Resposta

O valor da integral tripla é .

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