Calcule integral1^2 integraly^y^2 integral0^ln (x) y e^z d z d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla:
integral1^2 integraly^y^2 integral0^ln (x) y e^z , dz , dx , dy
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente uma integral tripla. Para resolver isso, vamos integrar passo a passo, começando pela parte mais interna e seguindo para fora.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a integral0^ln (x) y e^z , dz :
y integral0^ln (x) e^z , dz
Como é uma constante em relação a , podemos tirá-lo de fora da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral e^z , dz = e^z + C em relação a e^ln(x) - e^0 = x - 1 :
y (x - 1)
Aplicando os limites de integração de a :
Portanto, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão na integral intermediária, que é em relação a integraly^y^2 y (x - 1) , dx :
y integraly^y^2 (x - 1) , dx
Como é constante em relação a , podemos fatorá-lo:

Passo 5

Vamos integrar integral (x - 1) , dx = 12x^2 - x + C em relação a ( 12(y^2)^2 - y^2 ) - ( 12y^2 - y ) = 12y^4 - y^2 - 12y^2 + y = 12y^4 - 32y^2 + y :
y ( 12y^4 - 32y^2 + y ) = 12y^5 - 32y^3 + y^2
Aplicando os limites de a :
Portanto, a integral intermediária fica:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa, que é em relação a integral1^2 ( 12y^5 - 32y^3 + y^2 ) dy :
12 integral y^5 , dy - 32 integral y^3 , dy + integral y^2 , dy
Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Calculando cada integral:
12 cdot 16y^6 - 32 cdot 14y^4 + 13y^3 = 112y^6 - 38y^4 + 13y^3
Agora, aplicamos os limites de ( 112(2)^6 - 38(2)^4 + 13(2)^3 ) - ( 112(1)^6 - 38(1)^4 + 13(1)^3 ) a 112 cdot 64 - 38 cdot 16 + 13 cdot 8 = 6412 - 488 + 83 = 163 - 6 + 83 = 243 - 6 = 8 - 6 = 2 :
112 cdot 1 - 38 cdot 1 + 13 cdot 1 = 112 - 38 + 13 = 224 - 924 + 824 = 124
Calculando os valores:
Para :
Para :

Resposta

Então, a integral tripla vale:
2 - 124 = 4824 - 124 = 4724
Ou, de forma decimal:
4724 approx 1,9583

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