Usando mudança de variáveis na integral tripla encontre o volume da região definida pelas desigualdades:
0 <= 2x - 3y + z <= 5, 1 <= x + 2y <= 4, -3 <= x - z <= 6

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de uma região no espaço tridimensional definida por três desigualdades:
Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis em integrais triplas. Isso significa que vamos transformar essas desigualdades em algo mais simples para calcular o volume. Vamos precisar entender como fazer essa transformação e calcular o determinante jacobiano para ajustar o volume corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos definir novas variáveis para simplificar as desigualdades. Vamos chamar:
Com isso, as desigualdades ficam:
Agora, nossa região no espaço (u, v, w) é um paralelepípedo simples, o que facilita muito o cálculo do volume.

Passo 3

Para fazer a mudança de variáveis, precisamos expressar em termos de . Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para . Vamos começar isolando da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Substituindo por :
Isolando :
Agora que temos , podemos encontrar :
E finalmente, :
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano é uma matriz das derivadas parciais de em relação a :
Calculando as derivadas:
Então, a matriz jacobiana fica:
Vamos calcular o determinante de :
Calculando cada termo:
O valor absoluto do determinante é .

Passo 5

Agora que temos o determinante jacobiano, podemos calcular o volume da região original. A ideia é que o volume no espaço original ( ) é o volume no espaço transformado ( ) multiplicado pelo determinante jacobiano.
Primeiro, vamos calcular o volume no espaço . Como as desigualdades estão em forma de intervalo fechado, o volume é:
Agora, multiplicamos esse volume pelo determinante jacobiano:

Resposta

O volume da região é 15 unidades cúbicas.

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