Usando mudança de variáveis na integral tripla encontre o volume da região definida pelas desigualdades:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de uma região no espaço tridimensional definida por três desigualdades:
Para resolver isso, vamos usar mudança de variáveis em integrais triplas. Isso significa que vamos transformar essas desigualdades em algo mais simples para calcular o volume. Vamos precisar entender como fazer essa transformação e calcular o determinante jacobiano para ajustar o volume corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos definir novas variáveis para simplificar as desigualdades. Vamos chamar:
Com isso, as desigualdades ficam:
Agora, nossa região no espaço (u, v, w) é um paralelepípedo simples, o que facilita muito o cálculo do volume.
Passo 3
Para fazer a mudança de variáveis, precisamos expressar em termos de . Vamos resolver o sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema para . Vamos começar isolando da terceira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo e na primeira equação:
Substituindo por :
Isolando :
Agora que temos , podemos encontrar :
E finalmente, :
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa transformação. O jacobiano é uma matriz das derivadas parciais de em relação a :
Calculando as derivadas:
Então, a matriz jacobiana fica:
Vamos calcular o determinante de :
Calculando cada termo:
O valor absoluto do determinante é .
Passo 5
Agora que temos o determinante jacobiano, podemos calcular o volume da região original. A ideia é que o volume no espaço original () é o volume no espaço transformado () multiplicado pelo determinante jacobiano.
Primeiro, vamos calcular o volume no espaço . Como as desigualdades estão em forma de intervalo fechado, o volume é:
Agora, multiplicamos esse volume pelo determinante jacobiano: