Calcule integral triplaE(x z-y^3) d V onde E=(x, y, z) /-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1 utilizando dois ordens diferentes de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral triplo integral triplaE(x z - y^3) dV onde a região E é definida por -1 <= x <= 1, 0 <= y <= 2, e 0 <= z <= 1. Vamos usar integrações em duas ordens diferentes para calcular isso. Para isso, precisamos entender como configurar os limites de integração e aplicar as regras de integração múltipla.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a ordem de integração dx,dy,dz. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a x, depois y e por último z.

Passo 3

Começando com a ordem dx,dy,dz:
integral triplaE(x z - y^3) dV = integral0^1 integral0^2 integral-1^1 (x z - y^3) dx, dy, dz
Vamos integrar em relação a x:
integral-1^1 x z , dx = z [x^22]-1^1 = z (12 - 12) = 0
integral-1^1 -y^3 , dx = -y^3 [x]-1^1 = -y^3 (1 - (-1)) = -2y^3
Então, a integral fica:
integral0^1 integral0^2 (-2y^3) dy, dz

Passo 4

Agora, integramos em relação a y:
integral0^2 -2y^3 , dy = -2 [y^44]0^2 = -2 (164 - 0) = -8
Então, a integral agora é:
integral0^1 (-8) dz = -8 [z]0^1 = -8 (1 - 0) = -8

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda ordem de integração dy,dx,dz. Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a y, depois x e por último z.

Passo 6

Configurando a integral na ordem dy,dx,dz:
integral triplaE(x z - y^3) dV = integral0^1 integral-1^1 integral0^2 (x z - y^3) dy, dx, dz
Integrando em relação a y:
integral0^2 x z , dy = x z [y]0^2 = 2x z
integral0^2 -y^3 , dy = -[y^44]0^2 = -(164 - 0) = -4
Então, a integral fica:
integral0^1 integral-1^1 (2x z - 4) dx, dz

Passo 7

Agora, integramos em relação a x:
integral-1^1 2x z , dx = 2z [x^22]-1^1 = 2z (12 - 12) = 0
integral-1^1 -4 , dx = -4 [x]-1^1 = -4 (1 - (-1)) = -8
Então, a integral agora é:
integral0^1 (-8) dz = -8 [z]0^1 = -8 (1 - 0) = -8

Resposta

O valor do integral triplo é -8.

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