Determine se as sequências infinitas abaixo são convergente ou divergentes. Se forem convergentes, encontre seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge quando
vai para o infinito. Se convergir, a gente também vai achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
. Quando
fica muito grande, os outros termos (como o
,
e
) têm pouca influência no valor da fração.
Passo 3
Para encontrar o limite, podemos simplificar a expressão dividindo cada termo por
, que é o termo de maior grau:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece quando
tende para o infinito. Os termos que têm
ou
vão se aproximar de zero, já que
fica cada vez maior.
Passo 5
Então, a sequência
converge sim, e o limite dela é 7.
Resposta
A sequência é convergente e o seu limite é 7.