Determine se as sequências infinitas abaixo são convergente ou divergentes. Se forem convergentes, encontre seu limite. a_n = (7 n^2 + 2) / (n^2 + n - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a sequência converge ou diverge quando vai para o infinito. Se convergir, a gente também vai achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Quando fica muito grande, os outros termos (como o , e ) têm pouca influência no valor da fração.

Passo 3

Para encontrar o limite, podemos simplificar a expressão dividindo cada termo por , que é o termo de maior grau:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende para o infinito. Os termos que têm ou vão se aproximar de zero, já que fica cada vez maior.

Passo 5

Então, a sequência converge sim, e o limite dela é 7.

Resposta

A sequência é convergente e o seu limite é 7.

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