Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. O sólido limitado pelo cilindro e pelos planos , e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o volume de um sólido que é limitado pelo cilindro e pelos planos , e . Isso envolve usar integrais triplas, um conceito de cálculo que nos ajuda a encontrar volumes de objetos em três dimensões. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração adequados para a integral tripla.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro é uma parábola que se estende ao longo do eixo z. Os planos e vão limitar verticalmente o sólido entre essas duas alturas. O plano vai cortar o cilindro, limitando a região em y. Então, nosso sólido está confinato entre e na direção de y, e entre e na direção de z.
Passo 3
Vamos configurar os limites de integração. Para uma integral tripla , precisamos definir os limites para x, y e z. Observando o cilindro e o plano , podemos resolver para x em termos de y: . Portanto, para cada y entre 0 e 9, x varia de a . O z varia de 0 a 4, conforme os planos dados.
Passo 4
Agora, vamos montar a integral tripla com esses limites:
Aqui, estamos integrando primeiro em x, depois em y e, por último, em z. Isso soma todas as pequenas “fatias” do sólido para calcular o volume total.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em x: