Calcule o volume do sólido: integral0^1 integral0^1-x integral0^2-2 z d y d z d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido usando integrais triplas. Vamos precisar entender como configurar essas integrais e depois resolver passo a passo para encontrar o volume desse sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a ordem das integrais: . Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a , depois a e por último a .

Passo 3

Vamos começar resolvendo a integral mais interna, que é em relação a integral0^2-2z dy = y |0^2-2z = (2 - 2z) - 0 = 2 - 2z :
integral0^1 integral0^1-x (2 - 2z) , dz , dx
Então, agora nossa expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a integral0^1-x (2 - 2z) , dz = 2z - z^2 |0^1-x = [2(1 - x) - (1 - x)^2] - [0 - 0] = 2(1 - x) - (1 - 2x + x^2) = 2 - 2x - 1 + 2x - x^2 = 1 - x^2 :
integral0^1 (1 - x^2) , dx
Então, nossa expressão agora é:

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a integral0^1 (1 - x^2) , dx = x - x^33 |0^1 = (1 - 13) - (0 - 0) = 23 :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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