Determine se as sequências infinitas abaixo são convergente ou divergentes. Se forem convergentes, encontre seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a sequência infinita
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o limite dela. Vamos utilizar conceitos de limites de sequências e comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão da sequência:
Aqui, temos um termo alternante
que vai alternar os sinais da sequência. Além disso, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é
.
Passo 3
Para encontrar o limite dessa sequência, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo maior grau presente, que é
:
À medida que
tende ao infinito, os termos
e
vão se aproximando de zero.
Passo 4
Simplificando a expressão quando
tende ao infinito:
Então, a sequência se aproxima de
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de
:
- Se
for par, , então . - Se
for ímpar, , então .
Passo 6
Como a sequência alterna entre
e
indefinidamente, ela não se aproxima de um único valor conforme
cresce. Ou seja, ela não tem um limite definido.
Resposta
A sequência
é divergente.
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, é decrescente a partir de um certo termo (qual?) e limitada inferiormente por zero. Se for convergente, encontre seu limite.
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Calcule
onde
utilizando dois ordens diferentes de integração.