Determine se as sequências infinitas abaixo são convergente ou divergentes. Se forem convergentes, encontre seu limite. an = ((-1)^n n^5) / (2 n^5 + n^2 + 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a sequência infinita converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai encontrar o limite dela. Vamos utilizar conceitos de limites de sequências e comparar os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão da sequência:
Aqui, temos um termo alternante que vai alternar os sinais da sequência. Além disso, tanto no numerador quanto no denominador, o termo de maior grau é .

Passo 3

Para encontrar o limite dessa sequência, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo maior grau presente, que é :
À medida que tende ao infinito, os termos e vão se aproximando de zero.

Passo 4

Simplificando a expressão quando tende ao infinito:
Então, a sequência se aproxima de .

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de :
  • Se for par, , então .
  • Se for ímpar, , então .

Passo 6

Como a sequência alterna entre e indefinidamente, ela não se aproxima de um único valor conforme cresce. Ou seja, ela não tem um limite definido.

Resposta

A sequência é divergente.

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