Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superficies dadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que expressar a integral tripla
como uma integral iterada em seis formas diferentes. A região
é limitada pelas superfícies
,
e
. Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas e entender como configurar os limites de integração para diferentes ordens de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. As superfícies que limitam
são:
-
: uma parábola no plano . -
: o plano . -
: um plano inclinado.
Vamos encontrar os limites de integração para cada variável em diferentes ordens.
Passo 3
Vamos começar com a ordem de integração
. Para isso, precisamos determinar para cada
os limites de
e, para cada par
, os limites de
.
- Para
: A parábola intercepta quando . Como , , então varia de a . - Para
: Para um dado , varia de a . - Para
: Para um dado e , varia de a .
Então, a integral iterada fica:
Passo 4
Agora, vamos inverter a ordem para
. Aqui, fixamos
primeiro.
- Para
: varia de a (quando , ). - Para
: Para um dado , varia de a . - Para
: Para um dado e , varia de a .
A integral iterada fica:
Passo 5
Vamos para a ordem
.
- Para
: varia de a . - Para
: Para cada , varia de a . - Para
: Para cada e , varia de a .
A integral fica:
Passo 6
Agora, na ordem
.
- Para
: varia de a . - Para
: Para cada , varia de a . - Para
: Para cada , varia de a .
A integral iterada fica:
Passo 7
Vamos para a ordem
.
- Para
: varia de a . - Para
: Para cada , varia de a . - Para
: Para cada e , varia de a .
A integral fica:
Passo 8
Por fim, a ordem
.
- Para
: varia de a . - Para
: Para cada , varia de a . - Para
: Para cada , varia de a .
A integral iterada fica:
Resposta
As seis integrais iteradas que expressam
são:
Exercícios relacionados
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral
, onde
utilizando três ordens diferentes de integração.
I.