Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superficies dadas. y=x^2+z=0, y+2 z=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que expressar a integral tripla integral triplaE f(x, y, z) , dV como uma integral iterada em seis formas diferentes. A região E é limitada pelas superfícies y = x^2, z = 0 e y + 2z = 4. Vamos usar o conteúdo de cálculo de integrais múltiplas e entender como configurar os limites de integração para diferentes ordens de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região E. As superfícies que limitam E são:
  • y = x^2: uma parábola no plano xy.
  • z = 0: o plano xy.
  • y + 2z = 4: um plano inclinado.
Vamos encontrar os limites de integração para cada variável em diferentes ordens.

Passo 3

Vamos começar com a ordem de integração dy , dz , dx. Para isso, precisamos determinar para cada x os limites de z e, para cada par (x, z), os limites de y.
  • Para x: A parábola y = x^2 intercepta y + 2z = 4 quando x^2 + 2z = 4. Como z >= 0, x^2 <= 4, então x varia de -2 a 2.
  • Para z: Para um dado x, z varia de 0 a (4 - x^2)/2.
  • Para y: Para um dado x e z, y varia de x^2 a 4 - 2z.
Então, a integral iterada fica:
integral-2^2 integral0^4 - x^22 integralx^2^4 - 2z f(x, y, z) , dy , dz , dx

Passo 4

Agora, vamos inverter a ordem para dy , dx , dz. Aqui, fixamos z primeiro.
  • Para z: z varia de 0 a 2 (quando y = 0, z = 2).
  • Para x: Para um dado z, x varia de -raiz4 - 2z a raiz4 - 2z.
  • Para y: Para um dado x e z, y varia de x^2 a 4 - 2z.
A integral iterada fica:
integral0^2 integral-raiz4 - 2z^raiz4 - 2z integralx^2^4 - 2z f(x, y, z) , dy , dx , dz

Passo 5

Vamos para a ordem dz , dy , dx.
  • Para x: x varia de -2 a 2.
  • Para y: Para cada x, y varia de x^2 a 4.
  • Para z: Para cada x e y, z varia de 0 a (4 - y)/2.
A integral fica:
integral-2^2 integralx^2^4 integral0^4 - y2 f(x, y, z) , dz , dy , dx

Passo 6

Agora, na ordem dz , dx , dy.
  • Para y: y varia de 0 a 4.
  • Para x: Para cada y, x varia de -raizy a raizy.
  • Para z: Para cada y, z varia de 0 a (4 - y)/2.
A integral iterada fica:
integral0^4 integral-raizy^raizy integral0^4 - y2 f(x, y, z) , dz , dx , dy

Passo 7

Vamos para a ordem dx , dz , dy.
  • Para y: y varia de 0 a 4.
  • Para z: Para cada y, z varia de 0 a (4 - y)/2.
  • Para x: Para cada y e z, x varia de -raizy a raizy.
A integral fica:
integral0^4 integral0^4 - y2 integral-raizy^raizy f(x, y, z) , dx , dz , dy

Passo 8

Por fim, a ordem dx , dy , dz.
  • Para z: z varia de 0 a 2.
  • Para y: Para cada z, y varia de x^2 a 4 - 2z.
  • Para x: Para cada z, x varia de -raiz4 - 2z a raiz4 - 2z.
A integral iterada fica:
integral0^2 integral-raiz4 - 2z^raiz4 - 2z integralx^2^4 - 2z f(x, y, z) , dy , dx , dz

Resposta

As seis integrais iteradas que expressam integral triplaE f(x, y, z) , dV são:
integral-2^2 integral0^4 - x^22 integralx^2^4 - 2z f(x, y, z) , dy , dz , dx
integral0^2 integral-raiz4 - 2z^raiz4 - 2z integralx^2^4 - 2z f(x, y, z) , dy , dx , dz
integral-2^2 integralx^2^4 integral0^4 - y2 f(x, y, z) , dz , dy , dx
integral0^4 integral-raizy^raizy integral0^4 - y2 f(x, y, z) , dz , dx , dy
integral0^4 integral0^4 - y2 integral-raizy^raizy f(x, y, z) , dx , dz , dy
integral0^2 integral-raiz4 - 2z^raiz4 - 2z integralx^2^4 - 2z f(x, y, z) , dy , dx , dz

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Calcule a integral iterada. integral0^raizpi integral0^x integral0^x pi x^2 sen y d y d z d x
Calcule a integral integral triplaE(x z-y^3) d V, onde
E=(x, y, z) mid-1 <= x <= 1,0 <= y <= 2,0 <= z <= 1
utilizando três ordens diferentes de integração.
y' + y = x + e^2, y(0) = 0
I. y' + e' y = x^2 y^2