Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide elíptico , pelos planos e os 3 planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido chamado , que é limitado por um paraboloide elíptico dado pela equação , pelos planos , e pelos três planos coordenados (ou seja, , , ). A matéria aqui é cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar configurar uma integral tripla pra calcular esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação do paraboloide para expressar em função de e . A equação é:
Então, isolando :
Isso nos dá o limite superior para . Já que estamos lidando com planos coordenados, o limite inferior para é . Então, varia de até .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para e . Os planos e nos dão os limites máximos para essas variáveis. Além disso, os planos coordenados ( e ) definem os limites mínimos. Portanto:
varia de a
varia de a
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral de de até é simplesmente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a . Vamos quebrar a integral: