Determine o volume do sólido W limitado pelo paraboloide elíptico x^2 + 2y^2 + z = 16, pelos planos x=2, y=2 e os 3 planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido chamado W, que é limitado por um paraboloide elíptico dado pela equação x^2 + 2y^2 + z = 16, pelos planos x = 2, y = 2 e pelos três planos coordenados (ou seja, x = 0, y = 0, z = 0). A matéria aqui é cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar configurar uma integral tripla pra calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação do paraboloide para expressar z em função de x e y. A equação é:
Então, isolando z:
Isso nos dá o limite superior para z. Já que estamos lidando com planos coordenados, o limite inferior para z é 0. Então, z varia de 0 até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para x e y. Os planos x = 2 e y = 2 nos dão os limites máximos para essas variáveis. Além disso, os planos coordenados ( x = 0 e y = 0) definem os limites mínimos. Portanto:
  • x varia de 0 a
  • y varia de 0 a

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume V:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos integrar em relação a z. A integral de de 0 até é simplesmente:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a y. Vamos quebrar a integral:
Calculando cada parte:
Então, a integral em y fica:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar em relação a x:
Calculando para x = 2:
Para x = 0, tudo anula.

Resposta

O volume do sólido W é unidades cúbicas.

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