Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide elíptico , pelos planos e os 3 planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido chamado , que é limitado por um paraboloide elíptico dado pela equação , pelos planos , e pelos três planos coordenados (ou seja, , , ). A matéria aqui é cálculo de volumes usando integrais múltiplas. Vamos precisar configurar uma integral tripla pra calcular esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação do paraboloide para expressar em função de e . A equação é:
Então, isolando :
Isso nos dá o limite superior para . Já que estamos lidando com planos coordenados, o limite inferior para é . Então, varia de até .

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para e . Os planos e nos dão os limites máximos para essas variáveis. Além disso, os planos coordenados ( e ) definem os limites mínimos. Portanto:
  • varia de a
  • varia de a

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para o volume :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos integrar em relação a . A integral de de até é simplesmente:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a . Vamos quebrar a integral:
Calculando cada parte:
Então, a integral em fica:
Agora, a integral fica:

Passo 7

Finalmente, vamos integrar em relação a :
Calculando para :
Para , tudo anula.

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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Calcule:
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Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos: