Exprima cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial.
Cem gramas de açúcar, em água, estão sendo transformadas em dextrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada em minutos.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos 100 gramas de açúcar dissolvido em água que estão sendo transformadas em dextrose. A taxa dessa transformação depende da quantidade de açúcar que ainda não foi transformada ao longo do tempo em minutos. Para modelar isso, vamos usar equações diferenciais, que nos ajudam a descrever como uma quantidade muda ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir nossas variáveis. Vamos chamar de a quantidade de açúcar que ainda não foi transformada em dextrose no tempo . No início, quando , temos 100 gramas de açúcar, então .

Passo 3

A questão diz que a taxa de transformação do açúcar em dextrose é proporcional à quantidade de açúcar não transformada. Isso significa que a velocidade com que o açúcar está sendo transformado depende diretamente da quantidade que ainda resta.

Passo 4

Em termos matemáticos, podemos expressar essa proporcionalidade como:
Aqui, representa a taxa de variação da quantidade de açúcar ao longo do tempo, e é a constante de proporcionalidade positiva. O sinal negativo indica que a quantidade de açúcar está diminuindo com o tempo.

Passo 5

Portanto, a equação diferencial que representa a transformação do açúcar em dextrose é:

Resposta

A equação diferencial que expressa a transformação do açúcar em dextrose é:

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Exprima cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial.
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Calcule onde e é dado por e .