Exprima cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial.
Cem gramas de açúcar, em água, estão sendo transformadas em dextrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada em
minutos.
Cem gramas de açúcar, em água, estão sendo transformadas em dextrose numa razão que é proporcional à quantidade não transformada em
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos 100 gramas de açúcar dissolvido em água que estão sendo transformadas em dextrose. A taxa dessa transformação depende da quantidade de açúcar que ainda não foi transformada ao longo do tempo
em minutos. Para modelar isso, vamos usar equações diferenciais, que nos ajudam a descrever como uma quantidade muda ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir nossas variáveis. Vamos chamar de
a quantidade de açúcar que ainda não foi transformada em dextrose no tempo
. No início, quando
, temos 100 gramas de açúcar, então
.
Passo 3
A questão diz que a taxa de transformação do açúcar em dextrose é proporcional à quantidade de açúcar não transformada. Isso significa que a velocidade com que o açúcar está sendo transformado depende diretamente da quantidade que ainda resta.
Passo 4
Em termos matemáticos, podemos expressar essa proporcionalidade como:
Aqui,
representa a taxa de variação da quantidade de açúcar ao longo do tempo, e
é a constante de proporcionalidade positiva. O sinal negativo indica que a quantidade de açúcar está diminuindo com o tempo.
Passo 5
Portanto, a equação diferencial que representa a transformação do açúcar em dextrose é:
Resposta
A equação diferencial que expressa a transformação do açúcar em dextrose é:
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Calcule
, pela definição:
Calcule
, pela definição:
Exprima cada um dos fatos abaixo sob a forma de uma equação diferencial.
O rádio se decompõe numa razão proporcional à quantidade , presente.
O rádio se decompõe numa razão proporcional à quantidade
Calcule
onde
e
é dado por
e
.