Utilizando coordenadas esféricas,
Calcule
, onde
é a bola com centro na origem e raio 5 .
Calcule
, onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule
, onde
está entre as esferas
e
.
Calcule
, onde
é o hemisfério sólido
.
Calcule
, onde
é a porção da bola unitária
que fica no primeiro octante.
Calcule
, onde
fica entre as esferas
e
acima do cone
.
Encontre o volume da parte da bola
a que está entre os cones
e
.
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio
a seu centro.
Calcule
Calcule
Calcule
Calcule
Calcule
Calcule
Encontre o volume da parte da bola
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre a bola
que está centrada na origem e tem raio 5. Vamos usar coordenadas esféricas pra facilitar a integração, porque a região
é uma esfera perfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas
para esféricas
:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas. Como
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Como
é uma esfera de raio 5:
-
vai de 0 a 5 -
(o ângulo polar) vai de 0 a -
(o ângulo azimutal) vai de 0 a
Passo 5
Vamos separar a integral em três partes, já que cada variável é independente:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente:
- Integral em
:
- Integral em
:
- Integral em
:
Passo 7
Agora, vamos multiplicar os resultados das integrais:
Passo 8
Simplificando:
Resposta
O valor da integral tripla é
.
Exercícios relacionados
As funções
e
são contínuas em
. A integral
determina a função soma. Prove essa propriedade.
Determine a área sob a curva em
no intervalo
utilizando integração definida.
Calcule:
onde R é dado pelas desigualdades
e os planos coordenados.
A partícula de massa
é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade,
.
Encontre a função horária da posição.
Encontre a função horária da posição.