Utilizando coordenadas esféricas,
Calcule , onde é a bola com centro na origem e raio 5 .
Calcule , onde é o hemisfério sólido .
Calcule , onde está entre as esferas
e .
Calcule , onde é o hemisfério sólido
.
Calcule , onde é a porção da bola unitária que fica no primeiro octante.
Calcule , onde fica entre as esferas e acima do cone .
Encontre o volume da parte da bola a que está entre os cones e .
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a bola que está centrada na origem e tem raio 5. Vamos usar coordenadas esféricas pra facilitar a integração, porque a região é uma esfera perfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas para esféricas :
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas. Como , temos:
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Como é uma esfera de raio 5:
  • vai de 0 a 5
  • (o ângulo polar) vai de 0 a
  • (o ângulo azimutal) vai de 0 a

Passo 5

Vamos separar a integral em três partes, já que cada variável é independente:

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Integral em :
  1. Integral em :
  1. Integral em :

Passo 7

Agora, vamos multiplicar os resultados das integrais:

Passo 8

Simplificando:

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

As funções e são contínuas em . A integral
determina a função soma. Prove essa propriedade.
Determine a área sob a curva em
no intervalo utilizando integração definida.
Calcule:
onde R é dado pelas desigualdades e os planos coordenados.
A partícula de massa é solta a partir do repouso sob a ação da gravidade e da força resistiva proporcional à velocidade, .
Encontre a função horária da posição.