Utilizando coordenadas esféricas,
Calcule integral triplaB(x^2+y^2+z^2)^2 d V, onde B é a bola com centro na origem e raio 5 .
Calcule integral triplaH(9-x^2-y^2) d V, onde H é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 9, z >= 0.
Calcule integral triplaE(x^2+y^2) d V, onde E está entre as esferas
x^2+y^2+z^2=4 e x^2+y^2+z^2=9.
Calcule integral triplaE y^2 d V, onde E é o hemisfério sólido
x^2+y^2+z^2 <= 9, z >= 0.
Calcule integral triplaE x e^x^2+y^2+z^2 d V, onde E é a porção da bola unitária x^2+y^2+z^2 <= 1 que fica no primeiro octante.
Calcule integral triplaE x y z d V, onde E fica entre as esferas rho=2 e rho=4 e acima do cone phi=pi / 3.
Encontre o volume da parte da bola rho <= a a que está entre os cones phi=pi / 6 e phi=pi / 3.
Encontre a distância média de um ponto em uma bola de raio a a seu centro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a bola que está centrada na origem e tem raio 5. Vamos usar coordenadas esféricas pra facilitar a integração, porque a região é uma esfera perfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter as coordenadas cartesianas x = rho sinphi costheta, y = rho sinphi sintheta, z = rho cosphi para esféricas dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta :
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas. Como (x^2 + y^2 + z^2)^2 = (rho^2)^2 = rho^4 , temos:
integral triplaB rho^4 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta = integral triplaB rho^6 sinphi , drho , dphi , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos estabelecer os limites de integração. Como é uma esfera de raio 5:
  • vai de 0 a 5
  • (o ângulo polar) vai de 0 a
  • (o ângulo azimutal) vai de 0 a

Passo 5

Vamos separar a integral em três partes, já que cada variável é independente:
integral0^2pi dtheta cdot integral0^pi sinphi , dphi cdot integral0^5 rho^6 , drho

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
integral0^pi sinphi , dphi = 2
  1. Integral em integral0^5 rho^6 , drho = [ rho^77 ]0^5 = 5^77 = 781257 :
  1. Integral em :

Passo 7

Agora, vamos multiplicar os resultados das integrais:
2pi cdot 2 cdot 781257 = 4pi cdot 781257

Passo 8

Simplificando:
4pi cdot 781257 = 3125007 pi

Resposta

O valor da integral tripla é .

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